下面通过具体例子进行分析和讨论，以说明两种性质不同的数学方法和方式如何在近代微积分形成中相互交融，进而实现数学思想的创新的。
数学家吴文俊先生早在20世纪70年代中期就指出：“到西欧17世纪以后才出现的解析几何与微积分，乃是通向所谓近代数学的主要的两大创造，一般认为这些创造纯粹是西欧数学的成就。但是中国的古代数学绝不是不起着重大作用（甚至还是决定性的作用）的。”[44]他甚至断言：“微积分的发明乃是中国式数学战胜了希腊式数学的产物。”[45]我认为，吴先生的这个观点是振聋发聩的（不只是在当时）！它是一个数学家以历史的眼光对该领域问题长期思考的结果。但是，中国式数学有哪些特征，它表现了怎样的数学方法和数学认知方式，在微积分方面又是如何战胜希腊数学的？这些都是需要进行深入研究的，需要做大量艰苦细致的工作——看看所有权威的有关微积分发展史的数学著作（它们至多只是少量地提到巴比伦、印度的数学思想，根本就没有提到中国式数学及其影响），便可想象出这种研究的难度。在这里，我把这一问题的讨论纳入数学方法和数学认知方式的分析当中，从板块认知的角度，把近代微积分理论的创立看作是东西方两大数学“板块”相互“碰撞”导致的结果，或者说，是“欧亚数学”（Eurasian mathematics）板块的构造物，从而真正把微积分的发明看作是“人类精神的卓越胜利”[46]。具体来说，把近代微积分的形成看作是感性经验与思维抽象、形象类比与逻辑推理、数值计算与几何证明两种数学认知方式的交互作用的产物，尽管许多时候我们难以清晰地分清和剥离这样两组不同的认识方式和认知方式。下面我分四部分来论述。
一、两种不同类型的“微积分的形而上学”：对“无限的恐惧”与对无限的接纳
一定的认识论和方法论总是同一定的哲学思考、哲学观念（特别是本体论方面的）联系在一起的。这种哲学思考和哲学观念涉及世界的无限与有限、连续与间断、时间与空间、运动与静止等基本方面，并在此基础上形成相应的认识论和方法论。有数学家将它们称为“微积分的形而上学”（指研究超感觉的、经验以外对象的哲学）。[47]由于微积分的形而上学对数学微积分的表现形态、认知取向等有着规范和制约的作用，并且人们不能设想某种微积分数学思想与它的微积分形而上学是完全分离开来的，因此，我们考察微积分概念的形成不能不首先考察微积分的形而上学。非常有意味的是，微积分的形而上学在不同的时代、不同的民族都有其独特的表现形态。而尤以东西方民族之间的差异最为突出。下面我从一些基本史料出发对这方面的概念做一些梳理和归类。
先来看古希腊。研究表明，早期的希腊自然哲学和数学已经接触到无限（无穷小和无穷大）、不可公度比、连续性等问题，并且形成了一些初步的观念。例如，自然哲学家阿那克西曼德把“无限者”作为万物的本原而加以探讨。毕达哥拉斯及其学派主张空间的无限性。原子论者德谟克利特试图以数学原子论的观点来解决不可公度比问题。他认为凡线段总能无限分割。
然而，“在毕达哥拉斯和德谟克利特以后，希腊几何中是不大欢迎无限小的”[48]。例如，巴门尼德的学生芝诺（Zeno of Elea）明确否定无限小量。他说：“一个东西如果增加一些并不变大，减少一些并不变小，他便肯定没有这个东西。”[49]为了论证自己的观点，他提出的四个著名的疑难，揭露了有限与无限、间断与连续、相对静止与绝对运动之间的矛盾。虽然这个疑难具有古希腊式的“辩证法”的味道，却也使古希腊人对“无穷”一类的概念望而却步。在柏拉图那里，他反对毕达哥拉斯的无限概念和作为具有位置的单元的单子概念以及德谟克利特的原子论。他认为，与其把连续量看作由不可划分的量的集合所组成，不如认为是由阿那克西曼德的“无限者”的流动所生成。[50]他还把“善”与“恶”同“有限”与“无限”对应起来；“无限”被看作是“恶”的东西。
出于某种折中的意愿，亚里士多德将柏拉图的无限观与毕达哥拉斯的无限观作了比较。他说：“有些人，如毕达哥拉斯派和柏拉图，把无限看作为自在的实体，而非其他事物的属性。不过毕达哥拉斯派把无限置于感性事物之列（他们是不把数和感性事物分离开来的），并主张伸到天外的就是无限。而柏拉图则主张天外无物，理念也不在天外，因为不能说它是在什么地方的，但是不但在感性事物中而且在理念中都有无限。其次，毕达哥拉斯派把无限者和偶数等同看待，因为偶数在被奇数围限的情况下，还是赋予事物以无限性。……可是柏拉图则主张有两个无限：大和小。”[51]而柏拉图定了两个无限，也是因为他认为，在加和减的两个方向，超过界限并无限地进行下去是可能的。柏拉图虽然定了两个无限但没有用过它们。因为在数里，在减的方向上没有无限，因为他认为“数字‘一’是最小的；在加的方向上也没有无限，因为他认为数字到‘十’为止”。据此，亚里士多德认为，柏拉图的无限观是充满矛盾的。“‘无限’的真正含义正好与平常大家理解的相反，不是‘此外全无’，而是‘此外永有’。”[52]为摆脱这一困境，亚里士多德将“无限”区分为“实无限”和“潜无限”两类。在他看来，由于无限是永远延伸着的、不可分割开来的独立部分的东西，因此，无限只能是潜在的、不断生成的，只能是一种假设这样，亚里士多德就把实无限的存在完全否定了，而只限于用无限这个词去表示一种潜无限。此外，亚里士多德否定原子论者的不可分量（无论是在物理上或在数学上）观点。
对此，美国数学史家波耶评论道，亚里士多德反对最小不可分线段的观点是出自经验上的理由；从逻辑学上讲，也是无懈可击的。[53]但是，亚里士多德将无限区分为实无限和潜无限，这成为后来中世纪经院哲学家在相关问题上争论不休的根源。由于他强调了现实存在的可理解性和不可超越性，势必导致在数学中将导数和积分的概念当作超越于可理解之物以上的推断而加以排斥的倾向，并必将把数学思想局限于直观上合理的范围之内。而这个观点与近代以来对无限小观点的理解并不一致。有鉴于此，亚里士多德的这种无限观被近代特别是19世纪的数学家完全抛弃了。也就是说，亚里士多德最终也没能解决无限、极限和连续性一类的问题。出于同样的心理，“为避免提出直线可无穷延伸，Euclid说一线段（他书中的‘直线’就是指线段）可以按需要加以延伸。从Euclid对平行公理的叙述也可看出他不愿涉及无穷大”[54]。由此可看出，在一定的微积分的形而上学指导下，古希腊数学家不能清晰定义无穷小量——无穷小量只能被看作一个固定的量，而不是一个辅助变量。
与缺乏无限、极限观念紧密相连的是，希腊人还缺乏连续的、运动的观念。除了芝诺以“飞矢不动”表达他的鲜明的静止不动的观点外，毕达哥拉斯学派的科学和数学也主要是讲形式与结构，而不讲可变性；倘使将他们的哲学应用于自然界的变化而不是应用于永恒的方面，他们在解释运动时就必然要用到芝诺在第三和第四难题中所攻击的观点。而要回答芝诺难题还必须要有连续的、运动的概念。但是，希腊哲学家和数学家没能用清晰的方式去解答芝诺的疑难。所以他们基本上滞留于芝诺的难题中而不能自拔，即使讨论运动与变化，他们往往也是局限于形而上学的思辨范围之内，或者像如赫拉克利特的著作中所表现的，或者像亚里士多德那样在数学与物理学之间做出某种区分：前者是研究“不包含运动的事物”，后者则专门研究运动的事物——在亚里士多德看来，数与数之间不能产生一个连续统，因为数与数之间不能相互接触。他甚至反对微积分学的基本概念——瞬时变化率。
总之，希腊人较早地触及微积分的形而上学问题，并试图对之进行概念性的说明，以图摆脱单纯的依赖经验的状态。其中一些难题和概念的提出反映出人类智力所做出的努力。但是，总体上来说，希腊人的微积分形而上学与他们总的形而上学自然观，是相一致的，即他们对可变的、整体的世界以一种静止的、分析的眼光来看待，而看不到运动与变化，看不到或较少看到无限与有限、连续与间断、时间与空间、运动与静止等之间的相互关系。由于这一原因，古希腊自然哲学家（还有部分数学家）对无限、极限的概念缺乏一以贯之的、明确的认识，他们甚至对无限充满恐惧。正如美国学者C.H.爱德华所说：“希腊人总是谨慎地避免明显地‘取极限’，这种精神上‘对无限的恐惧’，或许是使得穷竭法逻辑不甚清晰的原因。”[55]又说：“希腊人对于无限，特别是对于我们称为极限的概念所赋予的神秘感，已消隐（即使未能消除）在欧多克斯原理之中。在这方面，亚里士多德注意到：当时的数学家并未使用无穷大和无穷小的量，而只满足于可以使之任意大或任意小的量。”[56]这些正是他们的不足；对于微积分思想的形成来说，这些也许是致命的。
再来看古代东方。与古希腊人相反，中国古代贤哲一开始便对无限、连续、极限等基本概念持敞开的和接受的态度。早在先秦时期，中国就已经形成了成熟的无限宇宙观和无限时空观。例如，《老子·十四章》中的“道”，是“迎之不见其首，随之不见其后”，意即“道”化生天地万物，上下运行不止，具有无穷的时间和空间意味。庄子对时空的无限性有着直接和清晰的阐述。在庄子的《逍遥游》中，作者就提出苍天（空间）是不是无限的问题：“天之苍苍，其正色邪？其远而无所至极邪？”他肯定了天上的河汉是没有止境、没有边际的。他还否定时间有“开始”：“……有始也者，有未始有始也者，有未始有夫未始有始也者；……”（《齐物论》）这即是说，当“有始”是无限地逆推下去的时候，“有始”也就成了“未始”。关于“无极”（无穷）的说法，《列子·汤问》中也有精彩的论述：“殷汤曰：‘然则上下八方有极尽乎？’革曰：‘不知也。’汤固问。革曰：‘无则无极，有则有尽；朕何以知之？然无极之外复无无极，无尽之中复无无尽。无极复无无极，无尽复无无尽。朕以是知其无极尽也，而不知其有极有尽也。”[57]这种对宇宙无限的看法，论者是很自信的。
在《周易》象数系统中，不仅包含无限分割的思想，更有运动、变化的描述。例如，“变动不居，周流六虚，上下无常，刚柔相易”（《系辞下》），讲的就是阴爻和阳爻在六个虚位上流转环行，周而复始，运动不止。关于这方面的意蕴，宋代哲学家深得其精髓。如理学的开创者周敦颐在其《太极图说》中说道：“无极而太极。太极动而生阳，动极而静，静而生阴。静极复动。一动一静，互为其根。……二气交感，化生万物，万物生生而变化无穷焉。”[62]易学大师邵雍将《周易》中“易有太极，是生两仪”的思想加以扩展和推演，把卦爻的变化看作是数值递增的过程：“太极既分，两仪立矣。……是故，一分为二，二分为四，四分为八，八为十六，十六分为三十二，三十二分为六十四。故曰‘分阴分阳，迭用柔刚，故易六位而成章。’十分为百，百分为千，千分为万。犹根之有干，干之有枝，枝之有叶。愈大则愈少，愈细则愈繁。合之斯为一，衍之斯为万。”[63]程颐将邵雍的这种方法概括为“加一倍法”（《外书》十二）。朱熹也说，康节之数“只是一分为二，节节如此，以至无穷”（《朱子语类》卷六十七）。
研究表明，数学家刘徽的思想受到了历代名家、墨家、道家以及易经象数思想的影响。例如，他在《〈九章算术〉注》中认为自己从事数术研究就是“观阴阳之割裂，总算术之根源。”在“割圆术”中，他很有可能受到名家“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的影响。[64]数学史家郭书春明确指出，“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉”中的“微则无形”句，脱胎于《庄子·秋水》中“河伯曰：世之议者皆曰，‘至精无形……’……北海若曰，‘……夫精，小夫微也；……夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也’”一段。[65]
在印度佛教中，实在论的观点中包含有极限的思想。在佛教徒看来，外部世界并无稳定性，存在仅仅是一系列外部的变化；构成实在本质的是前后“相依缘起”的诸“刹那”。按照苏联学者舍尔巴茨基（Fědor Ippolitovich Stcherbatsky）的阐释，“刹那”是指不同的事物在刹那间相互区别，它们之间没有任何间歇，或者说只有微分的（无穷剖分后的）极少间歇。而这个所谓刹那恰恰是作为终极实在的存在物，它可以被看作是数学上的“点”，是一个有着“别性”的绝对的“自在之物”；它作为“非连续的、唯一的、分离的东西是一切持续性的极限并且被当作某种绝对的数学的点刹那的最终存在”[66]。因此，“数学的极限应该是印度学者们熟悉的”[67]。
另一位英国学者亚瑟·伯林德尔·凯思（Arthur Berriedale Keith）在他的书中分析了印度正理派和胜论派中的“极微”思想。他指出，所谓极微是必然有分的（由部分所组成的）；可以有“二微”“三微”和“多微”。细微所成者只会是更细微的结果。如果这种细微的分析可以无穷分割下去，那就得承认：体大如山和微如麦芒，其体量性体积性依然存在。这也就肯定了无限细微者与有体有量者的平等性质。然而，极微论者同时认为，虚空无所不在，而极微并不表明虚空的存在。因此，极微的分析总有尽头；极微是可分割的最小的极限。[68]这种看似矛盾的情形也许正如凯思所分析的，可能是受到希腊的影响（虽然并没有原封不动地接受希腊的观念）造成的。类似的情况也表现在其他方面。例如，在佛教徒看来，刹那是没有时间的持续性和空间广延性；后者只是所谓名言或生起性想象的产物。所以依此之见，刹那恰恰是间断性或而非连续性。这样一来，没有连续性，何来趋于极限的无限可分概念呢。把作为数学之点的刹那终极实在又看作是无限可分的，难道不是矛盾的吗。也许，印度佛教徒正是靠着这个充满思辨和想象的概念——刹那，将彼此矛盾的间断与连续、运动与静止、无限与有限统一了起来。于是，从刹那的角度来看，稳定性可以被理解为只是第一刹那的稳定，而运动只是刹那的系列：一种由前后无间追随的紧密组合。
这里有必要简略谈谈与“0”的概念相关的哲学观念。因为0的概念及其符号与后来的微积分思想关系极大。以斯宾格勒为代表的一些学者认为，0的概念与印度宗教中的“非存在”思想有关。斯宾格勒指出，印度人的数字就像婆罗门教的涅槃一样是不可理喻的。然而正是这种精神“才能够产生出虚无作为一个真正的数即零的伟大概念，甚至在那时，这个零对于印度人之所以是零，是因为存在与非存在同样是外在的”[69]。确实，在佛教徒看来，“反面”（negativity）和“非存在”（non-being）是积极而美好的。因为佛教徒以生活和世界的反面为出发点；对他们而言，存在是“无”（nothing）。非存在是印度人和佛教徒积极追求的状态，是他们试图达到的涅槃境界。应当说，这种思想和文化对于接受“0”这样的概念确实比较容易，或者说不会给数学家造成太大问题（非存在是具体的、可探讨的状态）。但也有不同意的观点。例如，美国学者卡普兰（Robert Kaplan）认为，斯宾格勒等人的错误在于用“空白”（void）或者“空的”（empty）意思来错误地翻译“sunya”这个词。然而，在印度教徒的眼中并没有绝对的空白或者虚无状态。“sunya”一词的含义不是空白，它就像“一个中空的子宫，准备好去膨胀”。它的伙伴词“kha”来自动词“去挖”，含有挖洞并将其填满的意思。[70]我认为，这两种观点并不构成根本冲突：当印度数学家把0看作某一数而进行乘除加减时，或以一量来除以0被看作是无穷大（通往涅槃的道路）时，实际上他们并没有把0看作是绝对的空白或虚无。[71]
从以上的比较可看出，古代中国、印度的微积分的形而上学与古希腊有着鲜明的差异。前者都体现出朴素辩证法的一些基本原则，更强调运动、变化、连续等以及对象的无限可分性。其中的一些观点虽然具有鲜明的直观性和经验性，但却闪耀着智慧的光芒，具有很强的灵活性和包容性，可解释性的范围非常广泛。尤其是其中对无限的接纳，对极限的直觉，对“刹那”的洞悉等，正是微积分思想得以形成的温床或必不可少的元素。这或许是后来的微积分更倾向于东方的哲学观念而悖逆于古希腊哲学的一个重要原因。当然，东方的微积分形而上学也有自身的不足，即直观的猜测有余而概念性的分析不足；许多重要思想埋没在经验性的算法当中而不能充分地彰显出来。
二、两种处理数学微积分的方法：几何的与算法的
与不同的微积分形而上学相应的是两种不同的解决微积分问题的数学方法；或毋宁说，不同的微积分数学方法助长了不同的微积分形而上学。大体说来，这两种不同的数学方法，一是几何的，二是算法的。
还是先来看古希腊数学家所采用的方法。与早期希腊数学注重演绎推理的方法相一致，他们在处理微积分问题时的方法基本上是几何化的。在早期，毕达哥拉斯学派的“面积贴合理论”试图通过把一个图形贴合到另一个图形上去的做法，给面积概念以明确的定义。例如，两个长度a和b的乘积不是第三个长度的计算是通过边长为a和b的矩形的两个面积之和给出。但是，在把这一理论应用于线段的比较时，人们发现正方形的边叠合到对角线上时会出现不可公度量。从此，虽然希腊人把无理量作为几何学的一部分，但他们从来也没有想到要创造无理数来逾越这个障碍。到后来希腊人干脆放弃毕达哥拉斯学派将数的领域与几何的或连续量的领域等同起来的努力。
对于毕达哥拉斯学派遇到的量的不可公度困难，德谟克利特也许是熟悉的。他可能尝试通过“数学原子论”的理论去解决它。这种数学原子论似乎可以看作具有无限小量性质的不可分量理论。[72]但这种理论所揭示的充其量也只是一种固定的无限小量，它本身所具有的离散性并不能消弭毕达哥拉斯学派用几何学说明连续性的“先天不足”。至于柏拉图，他虽然似乎已经意识到算术与几何之间存在的鸿沟，但他的工作主要还是集中在几何方面。并且，他反对毕达哥拉斯学派持有的无限的概念和德谟克利特的原子论。如果说，他在微积分思想史上有什么贡献的话，那就是他所形成的抽象化的路线能够有效抵消毕达哥拉斯和德谟克利特的“线有厚度”的原子论观点中的过于诉诸感性经验而无法适用的不足；他的“无限者”的流动生成虽然是基于对运动的直观，但却消除了直观中的感性因素和原子论的粗糙感，因而是一个与莱布尼茨生成中的无限小概念非常相似的概念。这对微积分的初创是有帮助的。[73]
为了最终解决前人遇到的难题，数学家欧多克斯提出了“比例论”和“穷竭法”。在比例论中，欧多克斯给出了更一般的定义，即“存在一个整数n，使得na＞b”（当约定两比较的量）。这个定义不一定要求比式的两项都是（整）数，而只要比例中的四个项全是几何量就行，这样也就无须扩充毕达哥拉斯学派的数的概念了。在穷竭法中，欧多克斯把他之前的数学家安提丰和布莱森的思想发展为处理关于两个不同的、异质的或不可公度的量的问题的严格论证形式。即他弃而不用数字的概念，而是给出“如从较大的量减去大于其一半的量，再从余下的量中减去大于其一半的量，这样一直继续下去，总可使某一余下的量小于已知的较小的量”的原理。其论证的每一步都诉诸空间直观，分割过程中根本不用像一个无穷边数的多边形（一个最终跟圆重合的多边形）这样含混不清的概念。由于没有采用数值的等式（而是两个面积之间的一个比例关系），欧多克斯的穷竭法不可能出现数“π”的情形，这也就回避了算术而部分地解决了前人的难题。他与安提丰一样，所用的方法是纯几何的。
在古希腊数学史上，没有任何一个数学家能像阿基米德那样更接近于微积分思想了。但他的方法同样偏重于几何。他继承了欧多克斯的“穷竭法”，并将其发展成“括约法”（method of compression），即当在用此方法来证明圆面积时，他不仅利用圆内接正多边形，而且也用圆外切正多边形，以便把圆的面积“括约”在十分接近于圆的内接与外切两个正多边形之间。为了达到论证的准确性，阿基米德逐步把边数加倍，得到内接和外切的正12，24，48和96边形，最多时达到了640边形。所不同的是，在论证中阿基米德并没有把演绎的穷竭法作为一种适用于发现新结果的工具，而是把它同德谟克利特和柏拉图曾经探索过的无限小量观念结合起来。例如，为了解决抛物线弓形面积的问题，阿基米德在《抛物线求积法》中用穷竭法给出了证明。他的具体方法是，在抛物线弓形中作底边相等、顶点相同、面积为A的内接三角形。接着，分别在以三角形的两边为底的两个小弓形里面再作这种内接三角形；一直这样做下去，在得到一系列边时，同时得到越来越大的多边形。然后，他证明，第n个这种多边形的面积由级数给出。这就是所谓“双重归谬法”。它证明：抛物线弓形的面积既不能大于也不能小于第n个这种多边形的面积所给出的级数。（见图13-4）
图13-4 阿基米德双重归谬法
无疑，阿基米德的穷竭法是一种强有力的方法，他的工作是现代微积分思想的出发点。但是，阿基米德的穷竭法在用直线逼近曲线的过程中并没有明显地从极限上去着想。准确地说，阿基米德在穷竭法中所做的证明并没有去求无穷级数的极限，而只是求出前n项加上余项后的和，即他没有明确表明，在极限里已经没有余项了。因此，说阿基米德的几何演算是引向极限的通道是不确切的。因为正如波耶所说：“穷竭法虽然在许多方面都跟现代微积分中用于证明极限存在性的论证形式一样，但并不表示包括在求极限过程中的观点。希腊的穷竭法仅处理连续量，所以是纯几何的，因为当时对算术的连续量还缺乏了解。”[74]爱德华也指出，微积分的三个必不可少的组成部分在阿基米德的工作和研究方法中是见不到的。一是阿基米德同样没能摆脱希腊人“对无限的恐惧”，因此没有极限概念的明确引入。二是阿基米德强调通过几何构思来解决问题，过度依赖几何化的代数学，而没能建立计算面积和体积的一般法则。三是阿基米德像希腊人那样只是把切线看成“切触”线，因而就很难使人想到这种互逆关系和做出“变化率”的解释。[75]
从认知方式上来说，希腊人的几何方法与他们的演绎推理逻辑是紧密相关的。希腊人特别注重定义的明晰性、公理的自明性和推理的严密性；在思考和讨论问题时，一般很注意问题的逻辑前提。凡是能够从几何空间直观上加以把握和论证的方法和步骤，则加以承认；凡是需要直觉和想象才能加以理解的概念，则加以拒斥。例如，由于数学家安提丰提出的问题被认为没有严密的逻辑性，亚里士多德认为人们根本没有义务去驳斥它。[79]但是，许多问题特别是比较复杂的问题的解决，仅仅依靠几何直观和证明是不够的。例如，穷竭法对应在于一种几何直观，而在这种几何直观中难以形成极限的概念。在这里，这些问题与说是逻辑上的困难，不如说是形象化的困难。或者说，正是形象化比较困难，希腊人退而求其逻辑上的证明。他们采用了间接、清晰却又相当烦琐的推理证明方法。例如，前述“归谬”性的逻辑证明就是如此。在这个证明过程中，虽然他们舍弃了任何不明晰或模糊的概念，却也因此与无穷小、无限、极限、无理数等概念失之交臂。
还有一点，即0的概念与微积分思想的形成有重要的关系，但希腊人没有发明0的概念，这同样与他们的认知方式有关。首先，位置数符号和文字系统关系密切。在最早的字母表比如闪米特字母表和希腊字母表里，字母被用来表示数字。前10个字母表示从1到10的数字，接着的9个字母表从20、30到100的十位数。这种计数系统没有位置数0。虽然罗马人也用字母表开发了一套数字系统，但计算方法及其笨拙。可以说，字母表推动了希腊人演绎逻辑和理性精神的发展，而“希腊人成了自己逻辑那种线性的非此即彼取向的奴隶。结果，他们的想象力受到拘束，这就使他们难以构想‘0’的概念”[80]。
在刘徽的方法中，他通过运用算法数学发展出一种别具特色的“割圆术”。所谓“又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。（《九章算术·方田圆田术注》）[83]根据已知弦和矢，用勾股法求出圆的直径，然后连续平均分割已知弓形，得到无穷多个更小的弓形，最后弓形面积为所有三角形面积之和，即以圆心为顶点的无数小等腰三角形与圆面积“合体而无所失”。（见图13-5）[84]
图13-5 刘徽依勾股之法割圆图
图中点O为圆心，AB为内接正n边形的一边，C为弧AB的中点，因之，AC是内接正2n边形的一边。注意到AB⊥OC，考察直角△AOG，其中，“弦”OA为半径，“勾”AG则为边AB的一半，即
因而“股”长
进一步考察直角△ACG。这里“小勾”
|GC|=|OC|-|OG|
而“小股”AG为直角△AOG的“勾”，从而可求出“小弦”
此即内接正2n边形的边长。
再注意到
结果有
内接正2n边形的面积=AOC面积×2n
当然，对于割圆术中“割”到96边形后，是否还要继续往下“割”，刘徽是有自己的考虑的。在“阳马术注”中，刘徽甚至还说“安取余哉”，认为对“至细”“无形”的东西，可以舍弃不要；至于求微法中，刘徽也说过“不足言之”的话。这些似乎表明刘徽并没有明确的极限思想，并与他的“合体而无所失”目标有所背离。对于这些看似矛盾的观念，确实需要做一番说明。如果仅仅停留在切割几何图形的论证上，似乎与安提丰等人的论证非常相似。然而刘徽的高明之处在于，他对极限过程的逼近是建立在算法或数值计算基础上的，即把几何问题转化为计算问题，通过数字计算求得正多边形面积对圆面积极限的逼近。如同样是在割圆术注文中，刘徽说道：“觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。觚而裁之。以一面乘半径，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。”（《九章算术·方田圆田术注》）这就是证明。而所谓“则朱幂虽有所弃之数，不足言之”是指，“微数”只要达到一定的精确度就可以停下来。至于何时停下来，则出于实用的考虑：如果计算过程对实际问题的解决并没有太大作用，即使是非常精确的数值也是没有必要的。这样，与其说刘徽强调了“有限”，不如说他朦胧地意识到了有限和无限的辩证统一。无限是可以通过有限来显现的。因此，不能因为刘徽出于实用的目的把“有限”作为处理问题的“权宜之计”而忽视他对无限、极限的深刻洞察和理解。[86]
在圆锥和球的体积的“证明”中就体现了这种算法特征。刘徽还采用所谓“阳马术”，即“阳马与鳖臑体积之比为二比一”，而且，这个分割过程是可以无限地进行下去的，而所余部分越来越小，且随n→∞而趋于零，但“阳马与鳖臑体积之比为二比一”一直成立。受刘徽关于体积计算的启示，祖冲之、祖暅父子借助于“牟合方盖”计算球体体积的方法解决了球体体积的计算问题。有学者认为，“祖暅原理”中“幂势既同，则积不容异”的观点蕴含着意大利数学家卡瓦列里“不可分量”的思想。吴文俊指出，卡瓦列里的原理实际上在祖冲之、祖暅父子的工作中就已经表现出来，而时间上却早了1100年。[87]此外，李约瑟在他的《中国科学技术史》一书中，还列举了沈括的“造微之术”以及周述学在《神道大编历宗算全》中给出的在角锥内把球累成十层的图解说明等，认为中国人“有一些关于无穷小、穷竭法和微分的概念的基础”[88]。
在认知方式上，刘徽等人注重发挥类比思维、形象思维的作用，是一大特色。例如，刘徽割圆术就受到司马迁“汉兴，破觚而为圆”之说的影响，其原型乃是工匠把带有棱角的原材料加工成圆形的做法。[89]对于《九章算术》“勾股章”葛缠问中求葛长的问题，刘徽先用笔管缠青线模拟葛缠术，然后解开来看，发觉每周之间都相间成勾股弦（笔管的周长和线两圈之间的距离分别为股和勾，线一周的长为弦）。由此他解释了《九章算术》以木长为股，木围的七倍为勾，然后求弦，便得到葛的长度的合理性。[90]通过这种把“曲”拉为“直”的类比，刘徽获得了由“曲”到“直”的认识，并由此确立了一种认识论信念，最终形成“引而申之”的认知路径。这当中，自然时有语焉不详，或只是满足于类比直观即可的不足。但联系到刘徽“凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率”以及“推理以辞，解体用图”等说法，可知刘徽在割圆术、阳马术中充分发挥了形象思维的作用。他既重视类比推论，也重视图形直观，追求“数”与“形”统一，没有希腊人那种脱离实际的纯逻辑的形式主义弊病。
再来看看古代印度学者与中国古代数学家相近的方法。数学史家M.克莱因从数学的角度指出，印度人注重数学的算术计算方面，并在这方面做出了突出贡献。他们称数学为伽尼达（ganita），意思就是“（计）算（科）学”。并认为印度人不像希腊人那样细腻，他们看不出无理数概念所牵涉的逻辑难点，并且把适用于有理数的运算步骤用到无理数上去。他们的整个算术完全独立于几何。[91]由于这一特点，印度数学处理微积分的方法同样是算法的。例如，印度人认为直线图形与曲线图形没有什么本质的区别，都是可以用数来度量的，并且主要是用算术度量，而不是几何和关于面积贴合的研究。甚至相比较而言，印度数学家在解决计算球的面积和体积问题上比中国更有优势。例如，他们一直致力于将曲面转化为直线型物体，并按照印度人求几何图形面积的方法，将弯曲的曲面分解形成无数个小曲面。由于分解的个数无限多，所以小曲面可以被直观地看作是平面图形而加以计算。正是基于这一点，数学史家斯瑞尼瓦森格（C.N.Srinivasiengar）认为，婆什迦罗在求解球的问题时，肯定使用了极限的思想。基于此，他认为婆什迦罗才是发明微积分的先驱。[92]公元八世纪，印度耆那教徒维拉圣奴（Virasena）在其数学著作中给出圆台体积的准确公式。其推导过程很别致：设圆台上下底直径为a，b，高为h。先考虑挖去以a为直径、h为高的圆柱，然后把空心圆台掰开，展成有相同体积的五面体（《九章算术》中称之为“羡除”），再用类似于刘徽在求鳖臑体积公式中所用的无限分割方法，把这个立体体积归结为一系列由体积构成的无穷数列之和，即把空心圆台体积视为其部分之和的极限。[93]
卡普兰指出，虽然印度人并不是0的最早发现者（一种观点认为苏美尔人以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，并引入“空位”概念），但是印度人使0的含义更接近于数字的含义（而不只是使用各种名称来表示0），即使之具备数字和计算的性能。这对于后世微积分的发展史有重要意义。卡普兰写道：“在发展我们知识的时候，零给予了我们最大的帮助。感谢微积分，在我们使用任何约定时，零处于支配地位并给我们带来巨大的方便。”[97]事实上早在拿破仑时代，数学家拉普拉斯就已经指出，对微积分来说，“0”的概念和数字符号具有至关重要的独特作用。他说：“印度人用10个符号赋予我们表达一切数字的天才方法，每一个符号都获得一个绝对价值和位置价值。这个极其深刻而重要的思想表面上简单，致使我们忽视其真正的功绩。正是由于它使一切计算简单而容易，所以我们的算术才进入了最有用的发明前列。如果我们记住，古代两位伟大的天才阿基米德和阿波罗尼奥斯竟然忽视了‘0’的概念，我们就充分认识到这一成就是多么伟大了。”[98]哲学家黑格尔也说，微分可以当作真正的零来看待和对待。[99]美国科普作家阿西莫夫甚至不无遗憾地说：“阿基米德的穷竭法其实是积分运算的前身。如果若干世纪后，哪位慈善家能够通过‘时空隧道’把阿拉伯数字赠送给他的话，阿基米德也许会在牛顿之前两千年就发明出微积分。”[100]这里所说的阿拉伯数字自然包括了印度数字。列举这些学者的论断，只是想表明，包括0在内的印度数字和印度算法思想对于近代微积分的重要价值。
总的来看，构成微积分的一些基本概念源于自然和经验本身。例如，运动的观念、可变性的观念、连续性的观念等，都是从质朴的感性经验中提炼出来的。而东方人的算法思想和认知方式能够较好地满足经验性的需要，能够很好地刻画事物的可变性。例如，位值制和记数符号能够指向“变化”的方面。这也就是为什么古代微积分的发展更倾向于东方算法思想和算法数学的重要原因。因此，微积分要获得发展，必须回归“算法”之路。对于西方数学来说，要形成近代意义上的微积分，必须接纳东方特色的微积分形而上学和微积分数学方法[101]，以及由此形成的认知方式。
三、东方算法思想和数学方法的西传及其影响
近代微积分理论的形成除了经济、社会因素以外，文化的因素也是不可或缺的。文化的因素包括数学思想、数学方法和认知方式等方面。在阐述欧洲近代微积分理论形成之前，有必要简要介绍一下东方算法思想和数学方法的西传，以及西方数学概念体系和数学方法体系所发生的相应的嬗变。自然，这种介绍不可能是全方位的。我仅就一些关键性的地方作些介绍和说明。正如D.普赖斯所说：“理解科学在当今世界中的位置，就必须追溯它不断延续的历史，以抓住一些关键时刻。而这些时刻并非一定是指重要的发现或重大的进步，而是指人们不得不采用新思想或在思维中注入新因素的那些转折点。”[102]对于新欧洲开始以来的数学来说，这些“新思想”“新因素”包括十进位小数、0的概念与符号、代数求解、坐标几何等，也包括由上帝、虚无的重新认识和理解。下面，我先简要地勾勒东方算法思想和方法传入西方的过程。
数学的历史表明，东方算法思想和方法传入西方是一个漫长而持续的过程，并在特定的历史时期发挥着关键性的作用。早在埃及文明、巴比伦文明时期，一种比较原始的算法思想就已经对西方产生过影响。但是，对于中世纪的欧洲数学来说，印度、阿拉伯的数字及记数法的西传，其影响是非常巨大的。早在八世纪哈里发曼苏尔在位的时期中，许多印度学者前往巴格达，在他们所带的书籍中就有关于数学和天文学的著作。这些书籍对阿拉伯世界的数学和天文学发展影响极大。这其中印度数字也随之传入阿拉伯。这一点从词源上就可以看出。阿拉伯人把这些数字叫作“印度数字”（Figures of Hind）。阿拉伯文字中的数字是“兴德萨”（Hindsah），意思就是“从印度来的”（From Hind）。[103]此外，九世纪后半期的西班牙的穆斯林也发展了一套数字，被称为“尘土字母”（hurūf al-ghubār），形状与印度数字略有不同，原来是应用于某种沙土算盘上的。但大多数学者认为这种数字像印度数字一样也是导源于印度的。[104]大约在公元1000年，巴格达的数学家完全采用了印度人的数字系统。他们把印度的数字sunya（0）翻译成阿拉伯语的sifr（空白）。起初，cipher只表示数字系统里独特元素0，后来整个阿拉伯数字系统都成了cipher系统。这也就成为后来被我们称为印度—阿拉伯数字的最初来源。[105]
当然，对印度—阿拉伯数字西传做出重要贡献的则是中世纪意大利数学家斐波那契。在早年，斐波那契随父在北非师从阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算盘书》（亦译作《算经》，Liber Abbaci）一书。该书最大功绩是系统介绍了印度—阿拉伯数字及其记数法。其重要性表明，欧洲旧式数字运用“已经成了前进道路上的绊脚石；相反，印度—阿拉伯数字却打开了这一通道”。萨顿甚至称《算盘书》为“欧洲数学诞生和走向复兴的标志”[106]。
作为东西方数学交流居间地带的文明体，阿拉伯地区的数学也具有算法的倾向。这里要特别提到的是中世纪阿拉伯伟大的数学家花拉子米（al-Khowarizmi Mohammed ibn Musa）。他著有《印度算术书》和《代数学》两部重要数学著作。前者被认为是以印度数码表示的十进位值制记数体系及其运算方法传入欧洲的开端，后者则讨论一次、二次方程的解法，被西方认为是代数学的始创。花拉子米还著有《积分方程计算法》，这本书一直是中世纪欧洲各大学主要的教科书，并沿用到16世纪。从历史贡献的角度来看，花拉子米的工作恢复了巴比伦和印度的传统。因为他把量作为“纯粹的”数而不是作为几何量来进行处理，并且把解题议程归结为一些运算程序即算法。我们今天讲到的“算法”（algorithm）一词就是由这位作者的名字演变而来的。总的来看，阿拉伯人丰富了东方式的算术和代数学宝库。另一方面，在长达大约四个世纪的历史进程中，阿拉伯世界保存了希腊数学传统，并发展了代数方程求解的几何方法。毫无疑问，中世纪伊斯兰文化和阿拉伯的计算数学对希腊数学的转向起到了积极的作用。
必须看到，更具特色的中国算学经过印度、阿拉伯的中间通道，对西方世界产生了巨大的影响。（见图13-6）德国数学家福格（K.Vogel）在其德文译本《九章算术》序文中说：“《九章算术》所含246道算题，就其丰富内容来说，其他任何传世的古代数学教科书，埃及也好，巴比伦也好，是无与伦比的。”又说：“好多欧洲中世纪的算术教科书中的算题都可以在《九章算术》中找到。”[107]美国数学史家卡尔宾斯基（L.C.Karpinski）在其《算数史》一书中说：“Fibonacci巨著中所出现的许多算术问题，其东方源泉不容否认。不只是问题的类型与早期中国及印度相同，有时甚至所用的数字也相同。因此其东方根源是显然的。”[108]李约瑟说得更为明确：“代数学是在十三、十四世纪从阿拉伯传入中国的，但有更多的证据说明，它在更早的时候从中国传入印度和欧洲。”[109]李约瑟为此举例说，赵君卿在三世纪注释《周髀》时所用的勾股定理证明，在十二世纪，帕斯卡丝毫不差地再次给出证明；公元一世纪《九章算术》中的弓形面积计算法，也在九世纪摩诃毗罗的著作中再次出现等。[110]
图13-6 东方算法思想的西传以及西方的接纳
国内的研究也证明，阿拉伯的“hisabal khatayym”（所谓“契丹算法”）来自于中国的盈不足术。中国数学史家钱宝琮很早就主张“khatayym”是由“契丹”一词的音译转化而成的。而“契丹”一词历史上是指中国的北部。因此很有可能，“契丹算法”这一名称是随西辽迁移而带到中亚地区的。[111]吴文俊则认为，花拉子米《代数学》中处理几何的方式与中国古时几何问题中常用的切割术或所谓出入相补方法不无类似之处，即将几何问题代数化，再转变为方程问题来求解。他还引用李约瑟的考证，证明花拉子米在公元842～847年曾出使波斯以北并充当东西方商业要冲的西突厥可萨国，而可萨国通中国语，行中国礼仪。[112]最近的研究指出，阿拉伯数学家萨玛瓦尔在其博采众家之长基础上形成的数学著作《算术珍本》中，用了整整一个章节讲解如何用盈不足术解线性方程。可以推测，这是盈不足术源于中国的重要佐证（因阿拉伯文献中关于盈不足术的最早记载是花拉子米所著的《盈不足算书》，而该书没有流传下来）。[113]
我们再看东方算法思想和方法融入西方以后所出现的一些情况。随着公元11世纪开始的拉丁学术的复兴，西方世界出版了大量有关计算、算术的书籍。虽然在斐波那契之后的相当长的时间里，西方数学界没有他的继承者，但是到了14世纪，情况开始有了转变。到1500年，0已经被西方人接受为一个数；随后意大利人文主义者、数学家帕乔奥里（Luca Pacioli），日耳曼数学家施蒂费尔和工程师西蒙·史蒂汶等人按照印度人和阿拉伯人的传统使用无理数，并引入了种类越来越多的无理数。其中，史蒂汶在他的《十进算术》中提倡用十进制小数来书写分数并对它们进行运算，而反对用六十进制。又如，作为微积分先驱者之一的开普勒也广泛地应用对数和十进位分数，且热情地传播这方面的知识。其后，笛卡尔部分地接受了负数，并把方程的负根称作假根（直到17世纪以后，大多数欧洲数学家才心安理得地使用负数）。
由于算术方法是代数的基础，在接受东方算术方法的同时，欧洲人也逐步接受了阿拉伯人的代数。在《算盘书》一书中，斐波那契已经按照阿拉伯人的样子讲述了一次和二次确定或不确定方程以及某些三次方程，尽管用的是文字而不是记号。步斐波那契的后尘，帕乔奥里在《总论算术、几何、比例和比例性》一书中，像阿拉伯人那样把未知数叫作那个“东西”，而把未知数的平方叫作“census”，有时他将其缩写成ce或Z。虽然这部书在数学史上没有多少自己的创见，但它却是介绍欧洲人当时非常缺乏的算术和代数学知识的概要性的书籍。因此可以说，代数在欧洲的发展，至少在开头的发展，是阿拉伯活动路线的继续。正如M.克莱因指出的：“新的欧洲数学的第一个重大进展是在算术和代数方面。印度人和阿拉伯人的工作把实用的算术计算放在数学的首位，并把代数建立在算术的而不是几何的基础上。”[114]
除了接受东方算术和初等代数，欧洲人也结合自身数学的一些特点，做了一些融合与改进工作。在当时对于习惯于严密的逻辑推演和几何证明的欧洲数学家来说，算术和代数被看作是缺乏严密性的：算术和代数可以从几何得到逻辑证实，而代数不能代替几何或与几何并列。因此，许多人或者反对把几何与算术和代数混淆起来的做法，或者尝试着将算术和代数纳入到几何之中。前者如泰塔格利亚（Niccolò Tartaglia）。他坚持要区别数的运算与希腊人对于几何物体的运算；并对16世纪数学家对《几何原本》的翻译不加区别地使用multiplicare（乘）和ducere（倍）两字，表示不满。在他看来，前一个字是属于数的，后一个字是属于几何量的。[115]后者如施蒂费尔，他对传入的数字系统进行了某种程度的改造。例如，0的意义已经被改变了。因为它成为一个线性系列中作为分割+1和-1的手段，即它以一种完全非印度的关系意义被吸收到西方数字世界当中。不仅如此，在《整数算术》一书中，施蒂费尔认为算术序列和几何序列本质上是一致的。只是他当时没有采取指数表示法的形式，因而其工作显得过于烦琐。为弥补这一不足，数学家耐普尔（J.Napier，1550～1617）在《奇妙的对数》一书中提出了指数表示法。[116]
改进工作最明显的要算现代意义上的代数学的产生。虽然16世纪西方数学的重大进展一开始是体现在了算术和代数方面，然而随后的发展就不再是简单的传统算术和代数了，而是代数的一般化和符号化。例如，早在法国数学家韦达（F.Viète）的工作之前，数学家卡登（J.Cardan）等人已经通过解出三次和四次方程的许多例子以寻求并获得用之于一切情况的方法。约在1590年，韦达注意到algebra（代数）一字在欧洲语言中没有意义，主张摈去不用，而建议用analysis（解析）字样。[117]虽然他的这一建议没有被采用，但他以实际工作为传统代数学注入了新的元素。这个新元素就是抽象量的代数符号。随着韦达符号体系的引入，代数学在性质上发生了重大的变革，它是以后几个世纪中解析几何和微积分发展的必要条件。因为它使变化性和函数关系的概念进入了代数领域。从此，代数成为一门真正的、独立的科学；西欧代数依赖于几何的状况开始逆转。[118]
与此同时，在一个全新的意义上，代数与几何的相互关系被提到议事日程。敏锐地抓住这一层关系的是两位数学家费马和笛卡尔。其中，笛卡尔最初仿照韦达的方式，用代数来解决几何作图问题；后来他逐渐地形成用代数方程表示曲线的思想。这些均构成了著名的解析几何（坐标几何）的主要内容：在方程f（x，y）=0与所有符合下述条件的点的轨迹（一般为一条曲线）之间存在对应关系。这些点相对于两个互相垂直的轴的坐标（x，y），满足方程f（x，y）=0。（见图13-7）不过，笛卡尔虽然采用符合现代标准的符号代数表示法，但他强调的是计算方法而不是逻辑证明。或者说，笛卡尔更强调代数的作用。其工作体现了数量方法的必要性。之所以如此，是与笛卡尔对欧洲传统数学的现状的认识有关。在笛卡尔看来，三段论逻辑只是交流已知的东西，不能提供基本的真理。为此，他决定放弃抽象的几何，不再考虑那些仅仅用来训练思维能力的问题，而着力于解释用于自然现象的几何。他明确地指出，希腊人的几何存在过于抽象且过多地依赖于图形的不足。他说：“至于古代人的分析（古希腊的几何——引者注）和近代人的代数，除了都只研究一些非常抽象而且看来毫无用处的问题外，前者始终局限于考察各种图形，因而在运用理智时不能不使想象过于疲劳，在后者中又是这样使人受某些规则和某些数字的约束，以致人们由它造成了一种混乱、晦涩、淆乱心智的科学，而不是一种培养心智的科学，由于这个原因，我想应当去寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有它们的缺点的方法。”[119]很显然，笛卡尔对传统几何与代数进行了综合与改进。尤其是把代数提高到重要地位。对于他来说，“代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。不仅可解性问题和作图可能性问题，能够从平行于几何的代数来漂亮地迅速地完全地解决，而且离开了代数，决定就成为不可能的了。因此，体系和结构就从几何转移到代数”[120]。
图13-7 费马和笛卡尔的纵坐标几何
当然，笛卡尔和费马的解析几何最终表明，在数学构造中，代数与几何具有内在的联系，它们之间是相互影响的。或者说，“坐标几何把数学造成一个双面的工具。几何概念可用代数表示，几何的目标，可通过代数达到。反过来，给代数语言以几何的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论”[121]。这种“双面”性的作用，正如拉格朗日后来在《数学概要》中所说的：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”[122]
还要提及的是，中世纪经院哲学家、数学家对上帝的思考促成了对于无限的、连续的以及不可分量性质所进行的详细（并且是极其烦琐地）考察与思辨。例如，文艺复兴时期德国哲学家、人文主义者库萨的尼古拉（Nicholas of Cusa）在讨论上帝与宇宙的关系中，将“无限”的观念引入数学当中。在他看来，上帝不是圣父，也不是圣子、圣灵，而是无限，也就是绝对的极大。由于这绝对极大既是一，又是一切。因而任何量上的极大或极小，都是一样的；两者统一于、重叠于无限之中。当这种哲学观念运用到数学当中时，直线与曲线在极限状态下也就没有分别了。[123]其后，哲学家乔尔丹诺·布鲁诺进一步发挥了库萨的尼古拉的上述思想，认为宇宙是统一的、无限的、不动的。“在无限之中，点无异于体。”[124]看来，宗教的观念与思维方式能够为新的思想提供概念滋生的土壤。不过，这些思辨与其说是数学的，还不如说是哲学的，至多可以称之为“潜数学”的（sub-mathematical）。但它确实在客观上促进人们接受无穷小方法，而这种方法曾是希腊人的禁区。对此，斯宾格勒曾评论道：“库萨的尼古拉，也是经由一种直觉的引导，才从自然中上帝的无限性的观念得出了微积分的原理。莱布尼茨在两个世纪之后明确地奠定了微积分的方法和记号法，而他自己也是经由对神圣的原则及其与无穷的关系作纯粹形而上的沉思的引导，才体会和发展出位置分析（analysis situs）的概念。”[125]波耶也说：“中世纪的贡献主要是从哲学的观点出发，来思辨地讨论无限、无限小和连续，以及关于运动和可变性的新观点。这些论著对微积分方法和概念的发展，起了一个并非不重要的作用，因为这些论著使得这个学科的早先创造者把变量的图解表示法与函数的观念和希腊的静止几何联系了起来。”[126]研究表明，库萨的尼古拉和布鲁诺的上述观念对开普勒连续原理、莱布尼茨的“单子论”[127]等产生了不容忽视的影响。
上述嬗变也可以看作是认知方式的转变。我认为，这种转换了的认知范式就是拉卡托斯意义上的“准经验”认知范式。佐佐木力在题为《数学中发生了革命吗？》的演讲中，用库恩的范式理论和拉卡托斯的“准经验”概念分析了近代欧洲代数思想方法（manner of algebraic thinking）的形成和发展过程，并认为到17世纪时，一种新的数学范式或数学革命已经形成。这就是“准经验”的数学范式的确立。相对欧洲传统数学，这种范式的确立，无疑是一场革命。他指出，微分计算（differential calculus）被称为“Algorithm”，其拉丁语“Algorismus”来自于阿拉伯数学家花拉子米的名字，而莱布尼茨似乎使用了这一词汇来表示他的新的微分符号（symbolic calculation）。从某种意义上说，正是通过阿拉伯的数学或东方的算法思想和方法，莱布尼茨实现了一次数学革命或者说是一次数学范式的转换。[128]持类似观点的还有数学家J.格瑞宾勒（Judith V.Grabiner）。他曾指出，“数学革命”（mathematical revolution）在历史上曾经多次发生过。例如，古希腊的几何学曾为来自经验科学的数学所改变，后来又被非欧几何和代数学所改变，特别是在18、19世纪，它们主要聚焦于数学的计算方面。这种革命性的变化表明，数学真理也是“时间依赖”的。[129]这种时间依赖，无疑具有经验性的特征。
四、在两种微积分方法中实现两种认知方式的融合与创新
伴随着东方算法思想和数学方法的西传，东方人关于微积分的思想和方法也传播到西方。从17世纪以后，原本跨越两大文明板块的两种微积分概念体系和数学方法被集中地展现在欧洲数学舞台上；它们被交织性地运用于微积分理论的创造过程中。这里既有概念的变化、数学方法的变更，也有认知方式的转换。这其中，某些数学家可能更倾向于或更擅长于算法的思想和方法，另一些数学家则更青睐传统的几何证明的方法，而更多的数学家则是两种概念体系和两种方法交替使用（这时我们在他们的数学研究中很难简单地区分何者是算法的，何者是几何的）。不管怎样，有一点是肯定的，即这些数学家都为微积分理论的创立做出了自己应有的贡献。
关于数以及数量的变化（数的计算）对改变数学观念方面的作用，莱布尼茨有过一个很好的论证。他说：“在数方面的观念，是比在广延方面的观念既更精确又更恰当地彼此区别开的，在广延方面，我们不能和在数方面一样容易地来观察大小的每一相等和每一超过量，这是因为在空间方面，我们不能在思想上达到某种确定的最小，在此之外不能再前进的，如同在数方面的单位那样……因为要清楚地认识大小就得求助于整数或其他靠用整数知道的（量度），因此就要对大小有一清楚的认识就得从连续量又再来借助于分离量。”[131]这里的“分离量”就是以整数表示的量，它具有离散的特征，能够表示几何连续量所不能表示的量的关系。也就是说，人们过去无法谈论的无限问题可以通过算术计算的工具来加以讨论。当然并不限于整数的量。
必须承认，即使这个时期的许多欧洲数学家十分青睐东方的算法思想和方法，但他们一刻也没有完全放弃他们习惯的几何方法。即使是苏依塞思，他有关变化问题的尝试终究没有离开几何直观这一媒介的帮助。其主要后继者——牛津大学默顿学院的一批逻辑学家和自然哲学家们，包括奥雷姆（Nicole Oresme）、T.布雷德沃丁（Thomas Bradwardine）等人，对“形态幅度”（latitude forms）以及与之相关的“无穷级数”问题进行的研究几乎完全采用几何的方式表述。