（一）运用标准差与离均差的计算公式
式中：x、y为两个变量的离均差，x=X-，y=Y-；
N为成对数据的数目；
sX为X变量的标准差；
sY为Y变量的标准差。
式中x、y的含义同公式5-1a。这两个公式都需要计算离均差。
（二）运用标准分数计算相关系数的公式
当应用标准分数计算相关系数时，积差相关系数的公式如下所示：
式中：ZX为X变量的标准分；
ZY为Y变量的标准分。
图5-5 用标准分数计算相关系数图示
（三）原始观测值计算公式
如果直接运用原始数据计算皮尔逊积差相关系数，可由公式5-1a推演出下面的公式：
或者使用下面的公式：
公式5-3a、公式5-3b初看上去很复杂，但公式中各个变量的数据十分容易获得。
为了说明相关系数各计算公式的应用，我们看下面这道例题。
【例5-1】 表5-2是10名中学生身高与体重的测量结果，问身高与体重的关系如何？
表5-2 用原始分数计算相关系数的步骤
解：根据已有资料可知中学生身高与体重的分布都呈正态，且身高、体重都属测量数据并为线性相关，故本例可用积差相关公式计算相关系数值。
表5-2第4～6列已经列出了每一个被试的X2、Y2、XY的值，在最后一行列出了相应的∑X2、∑Y2、∑XY的值，从表中已知n=10，将这些值代入用原始分数计算相关系数的公式5-3a得：
答：这10名学生身高与体重的相关系数为0.7919。
通过上例，应用公式5-3a计算积差相关系数的步骤为：
（1）求每一个变量的总和，即∑X和∑Y的值；
（2）求每一个变量的平方和，即∑X2和∑Y2；
（3）求成对变量乘积之和、每个变量和的乘积，即∑XY和∑X∑Y的值；
（4）代入公式5-3a计算r。
这个例题中的数据，如果要用公式5-1a和公式5-1b来计算积差相关系数，具体步骤为：
（1）计算每一个变量的平均数，即和的值；
（2）计算每一个变量的标准差，即sX和sY的值；
（3）求每一个变量的离均差，即x和y的值；
（4）求每个变量离均差的平方和与两个变量离均差的乘积之和，即∑x2、∑y2和∑xy的值；
（5）代入公式5-1a或公式5-1b计算r。
如果用公式5-2计算相关系数，就要计算每一个变量的标准分数与两个变量标准分数的乘积之和，即ZX、ZY和∑ZXZY。
具体计算过程如下：
表5-3 用离均差、标准差和标准分数计算相关系数的步骤
将∑xy、N、sX、sY代入公式5-1a得：
将∑xy、∑x2、∑y2代入公式5-1b得：
将∑ZXZY、N代入公式5-2得：
可以发现用公式5-1a或公式5-1b计算的相关系数与用公式5-2 计算的相关系数值是相同的。
如果表5-3中身高与体重的单位用市制单位尺和斤来表示，无论平均数、标准差，还是离均差乘积之和，都与测量单位用公制单位厘米及千克表示的时候明显不同，如表5-4所示。同一组被试的身高与体重，由于测量单位不同，可得到不同的协方差值。因而两个变量的一致性程度无法直接用协方差表示，若把离均差换成标准分数表示，则可得到相同的结果。表5-4中是把表5-3中身高与体重的数据单位转换成了相应的尺和斤之后的数据，该例说明了必须将每个离均差转换成标准分数的道理。
表5-4 不同测量单位的数据计算相关系数比较
将∑xy、N、sX、sY代入公式5-1a得：
将∑xy、∑x2、∑y2代入公式5-1b得：
将∑ZXZY、N代入公式5-2得：
与表5-3中的数据比较，发现两种不同观测单位计算的标准分数ZX及ZY略有差异，这是由于在单位转换及计算中引进了计算误差所致。另外，也会看到，当两个变量的单位为厘米和千克时，协方差为22.85，当两个变量的单位转换为尺和斤时，协方差则为1.371。进一步验证了协方差因同一数据单位的不同而发生的差异，说明它是不稳定的。