洛伦兹曲线是在度量不平等的理论和方法中，一种比较直观的图形，横轴是人口的累计百分比，纵轴是收入的累计百分比，曲线上的点代表某一人口比重所拥有的收入比重。一个国家的不平等程度可以从洛伦兹曲线的弯曲程度中表现出来，45度线和洛伦兹曲线之间的总体距离就暗示了这个国家所存在的不平等程度大小。洛伦兹曲线包含了所有人的收入分配信息。
如何来比较两条洛伦兹曲线的不平等程度呢？为了说明这个问题，首先要弄清几个定义。
定义1：累退性转移（regressive transfer）和累进性转移（progressive transfer）。设（y1，y2，…，yn）是一组收入分配，其中两种收入yi和yj，yi≤yj，将收入从相对贫穷的个体i，转移到相对富裕的个体j，我们称之为累退性转移。相反方向的收入转移就是累进性转移。
Dalton（1920）认为如果一个收入分配是由另一个收入分配经过一系列的累退性转移后得到，那么前者相对于后者来说收入分配更加不平等，这个准则被称为达尔顿准则。Atkinson（1973）和Sen（1973）都进一步地研究了这种收入转移，证明将一个固定收入从穷人转移给富人将增加收入分布的不平等。
根据这个定义，如果f洛伦兹占优于g，从图形上看，就是洛伦兹曲线g完全在曲线f的右侧。对于这种情况，很容易判断出收入分布g比收入分布f不平等，不存在模糊性，用不平等指数I表示为I（f）＜I（g）。通过简单的画图分析，也不难看出，如果g是由f通过一系列的累退性转移获得，那么fLg。计算基尼系数、变差系数等，也可以表现出比较好的一致性，即如果fLg，则收入分布f计算出来的基尼系数会小于收入分布g的基尼系数。
但是，如果两条洛伦兹曲线发生相交时，就很难判断哪条曲线是洛伦兹占优的，也就很难判断两条曲线的不平等程度了。下面再来看一下引言中的那个例子，国家1和国家2的基尼系数相同，从图形上看（见图1），就是两条洛伦兹曲线与45度线围成的面积相同，但不同的是国家1低收入组距离45度线近，高收入组距离45度线远，国家2的情况恰恰相反。这种情况下，很难根据累退性准则进行判断了，因为国家1需要同时经过累退性转移和累进性转移才可以变成国家2的状况，产生了洛伦兹比较过程中的模糊性。
图1 两个国家的洛伦兹曲线
对于洛伦兹曲线相交情况下的比较，Shorrocks和Foster（1987）做了探索性的工作，提出了转移敏感性（transfer sensitivity）的概念，试图比较收入分配低端的累进性转移和收入分配高端的累退性转移对收入不平等程度的作用大小，解决比较中遇到的模糊性问题。他们通过严格的数学证明了，如果两种转移的数量一样，则收入低端的累进性影响效果要大于收入高端的累退性转移，也就是说，如果两种转移同时发生的话，不平等程度应该下降。根据这个准则，可以判断出引言例子中，国家1相比国家2的收入分配更加平等。
转移敏感性分析的方法，很好地解决了洛伦兹曲线存在一个交点的问题，但在现实分析中，洛伦兹曲线可能会相交多次，也就是说，一个收入分布f可能要经过一系列的累退性转移和累进性转移才可以达到收入分布g，这时转移敏感性分析就遇到了麻烦，仍然不能很好地解决比较的模糊性。
针对有多个交点的洛伦兹曲线比较，学者们在不断地进行探索，其中一个比较好的分析范式，是Menezes、Geiss和Tressler（1980）以及Davies和Hoy（1995）提出的ADI（aversion to downside inequality）分析范式。这个分析范式的想法来源于信息经济学中的一个类似概念，即厌恶可能下降的风险（aversion to downside risk）。Rothschild和Stiglitz（1980）在比较两个具有相同均值和方差的选择时，引入了可能下降的风险，说明虽然两种选择的均值和方差相同，但人们会比较厌恶潜在下降风险比较大的选择。
Menezes、Geiss和Tressler（1980）将这种分析范式引入到比较收入分配不平等程度中，对一些概念进行了定义。
定义3：收入分布中的维持均值方差不变的转移MVPT。这里的MVPT同样是由均值不变的扩散转移（MPS）和均值不变的收缩转移（MPC）组成[3]，并满足在低收入组中主要发生扩散转移（MPS），且两种转移对方差影响的效果相无抵消，保持方差不变。
定义4：不平等状况变差（downside inequality）。如果收入分布g是由收入分布f通过一系列MVPT获得，则收入分布f相对于g表现出更低的不平等状况变差。
根据这个定义，可以看出虽然f和g拥有相同的均值，但f表现出更低的不平等状况变差，所以在ADI情况下，f的不平等程度要低于g。
有了上述几个定义，就可以利用ADI范式来比较洛伦兹曲线相交时的收入不平等程度了。首先可以用ADI范式来陈述Shorrocks和Foster（1987）关于洛伦兹曲线存在一个交点的转移敏感性分析的命题。
命题1：假设存在两个收入分布f和g，有相同的均值，且洛伦兹曲线有1个交点，满足（1）两条洛伦兹曲线初始相交时，f在g之上；（2）V（f）≤V（g），则所有满足ADI的不平等指标I，有I（f）＜I（g）。
Davies和Hoy（1995）在ADI分析范式下，严格证明了洛伦兹曲线存在多个交点情况下的命题。
命题2的意思是说，在ADI的分析范式下，首先找到两条曲线的所有交点，然后在所有0到交点的人口累计百分比的子区间内，f的方差都要小于等于g的方差，在这种情况下可以判断出I（f）＜I（g）。当两条曲线只有一个交点时，命题2和命题1的结论是一致的，也就是说，命题1是命题2的一种特殊情况。对于命题2，当n=1时，V1（f）≤V1（g）可以推导出f曲线和g曲线初始相交时，f在g之上，这与命题1的结论也是一致的。因此，对于两个收入分布，无论存在多少个交点，如果I（f）＜I（g），都需要f初始相交时在g之上。
综上，当我们基于洛伦兹曲线比较收入分配不平等时，首先要判断两条曲线是否存在明显的洛伦兹占优。如果两条曲线存在相交的情况，就需要借助ADI的范式进行分析。不过，现有的分析对于存在多个交点，人口子集的各个收入方差大小方向不一致的两条曲线，仍然存在比较的模糊性，还需要进一步的研究。