薛定諤博士
現在仍然有人不接受玻爾原子理論中的電子殼層和量子躍遷。這些理論沒有解釋為什麽隻存在特定的能量殼層，以及為什麽其預測的數據並不總是與實驗相符。
玻爾根據不同的理論把原子搗碎、揉在一起，就像一個玩洋娃娃的孩子強迫娃娃親吻。他知道這不能一勞永逸，必須有一個更簡潔、更優雅、沒有人想過的理論。想出這個理論的人是埃爾溫·薛定諤。相較於他的理論，薛定諤的個人生活更令全城人津津樂道。
薛定諤是個天才，他有些離經叛道，崇尚精神自由，喜歡打領結。在長達50年的職業生涯裏，他就科學、藝術和哲學等主題撰寫了大量文章。薛定諤是上流社會的棄兒，他與妻子安妮、情人希爾德的三角戀引發了不少流言蜚語。
盡管生活很有趣，但薛定諤的緋聞並不是他獲得諾貝爾獎的原因（這本來可以當作獲獎感言）。薛定諤獲獎，是因為他有更好的方法解釋原子。
騙子
薛定諤討厭聖誕節。他反對帶有宗教色彩的活動，這是人盡皆知的。所以，1925年12月，他決定搬到瑞士一座偏僻的別墅，從而遠離一切慶祝活動。薛定諤的妻子留在家裏，但“一位來自維也納的舊情人”在避寒期間陪著他，這位女友的身份已不可考。[2]這段時間裏薛定諤沒有寫日記，所以沒有人知道他究竟做了什麽，但我們知道他度假的行李箱中裝著一個待解決的物理問題。
薛定諤一開始對量子論不感興趣。他是個天才的物理學家，但專業領域是波的行為，而不是粒子。老實說，他對電子、光子和質子感到厭煩。當然，自從人們意識到有時需要把這些粒子看成波後，他就不這麽覺得了。
如果把電子當成粒子，薛定諤知道很多方程來描述它的行為；但如果把它當成波，人們就束手無策了。他後來寫道（轉述自德語）：“這種極端的想法可能是錯的……換句話說，忽略波的相反觀點導致了很大的困難，以至於似乎應該誇大另一種方法的重要性。”[3]
其他人都在用粒子物理來描述原子，但如果他能提出一種波動方程以達到同樣的效果，也許會帶來新的洞見。本質上，薛定諤是想表現得特立獨行。不管怎樣，考慮到他得到了異性的青睞，而且將諾貝爾獎章隨意地擺在壁爐上，或許我們可以說他做到了。
薛定諤自己也承認，他對數學了解不多，想不出新的定律，[4]但在那個不可思議的冬天，他顯然把自己嚇了一跳，因為在新年伊始，他帶來了每個人都在尋找的東西：一個能準確描述核外電子能量的方程。
薛定諤把波粒二象性如何成立的問題放在一邊，隻關注事物的波動性。他設想把原子表麵的每一個電子拉伸，就像把一塊黃油塗在烤麵包上一樣。這層電子膜可以纏繞原子核，並以特定的頻率振動。
對於給定的輸入值，比如質量或原子核的牽引力，薛定諤方程能準確地預測原子中的電子以三維方式振動的形狀，他稱之為“波函數”。
波函數是一種方程，你可以用它來生成電子在特定空間或特定時間的一係列屬性：波高、波長、波速等。
薛定諤方程對波函數（波函數是薛定諤方程中的一個方程）進行計算，並預測了電子的性質和行為如何隨時間變化。不僅如此，它最終解釋了為什麽隻存在特定的能量殼層。
我們要去的地方不需要粒子
由於原子中的每個電子都被原子核所俘獲，所以電子的行為受到限製。例如，一個波隻能以完整的波形出現，如下兩圖所示。左圖表示單波，右圖表示雙波。
你找不到四分之三波，因為它不適合出現在直線上。直線上隻允許出現特定的形狀。
允許出現的波叫作“諧波”。這個聽起來很有音樂感的名稱並非巧合。上圖的形狀相當於你演奏的弦樂器的音符，在空氣中每個波形都產生不同的聲音。
當你撥動吉他弦或班卓琴弦，它會以一種特定的能量振動。不同的音符代表不同的諧波（允許出現的波）。薛定諤方程表明，與原子核結合的電子具有相同的音樂感。
當然，我們必須進入更高的維度，因為原子並不是直線。但如果能計算出三維振動的諧波，你就可以得到電子波的形狀。很難想象該如何計算（這超出了薛定諤的才能），但幸運的是，不久後，其他數學家給出了答案。
第一個電子諧波呈球形（如下圖左）；第二個電子諧波看起來像兩個相互擠壓的氣球，一前一後（如下圖右）。
這些球形和啞鈴形告訴我們要去哪裏尋找電子波。電子並不是像小球一樣繞著原子核的，我們應該把電子想象成以原子核為中心的球狀振動麵。隨著能量增加，其形狀變得越發複雜（太難了，我畫不出來……憑我的藝術修養畫不出這些草圖，但如果你感興趣，可以在網頁上搜索“s形”“p形”“d形”“f形”）(1)。
原子核周圍電子振動的區域不再被認為是“軌道”，所以我們稱之為“原子軌道”。當然，“薛定諤軌道”聽起來更好。
這最終解釋了能量量子化的由來。原子核周圍隻適合特定的電子諧波，因此特定的原子隻能有特定的能量值。在玻爾的殼層理論中，能量層級是一種不知道從哪裏冒出來的東西，而在薛定諤更高級的波函數理論中，能量層級是可以預測的。
更妙的是，薛定諤方程告訴我們，這些原子軌道隻能以特定的角度結合，而整個化學學科證實了這一預測。
薛定諤方程也擺脫了那些討厭的量子躍遷。當電子從內層軌道躍遷到外層軌道時，發生的事情就像是振動的跳繩隨著你的手改變速度而改變波長。這種轉變看起來令人厭惡，但整個過程很平穩，並非瞬間發生。電子從一個軌道變換到另一個軌道時要發射或吸收光子，這是電子波振動成新形狀的結果。
唯一的問題
薛定諤方程計算的是波函數，並預測它會如何變化。關於電子我們想知道的一切，波函數都提供了充分的描述。毫無疑問，這是數學美的勝利。前提是你不去問那是什麽意思。
你所需要做的，就是輸入相關的數字，轉動手柄，頁麵上的符號就會輸出可靠的數據，告訴你在特定的情況下電子會發生什麽。但……電子波……究竟是什麽？
更令人憂心的是，如果不在運算中加入“虛數”，薛定諤方程就無法給出正確的答案。我在本書中盡量不用數學方法解釋量子力學，但虛數對這個故事很重要，我們不能輕鬆地繞開它。所以，親愛的讀者，係好安全帶，我們要開始玩數學遊戲了！
發揮你的想象力
事情是這樣的。取一個負數，比如-2，然後加倍，就得到了-4。我們可以把算式寫成：-2×2=-4。
然而，如果我們用-2乘以-2本身，會得到相反的數字。一個負數乘以另一個負數結果是正數，因為負號被抵消了，也就是把負數徹底轉變成正數。兩個負數相乘得到正數，我們可以寫成：（-2）×（-2）=4。
每個人都知道4的平方根是2（如果你不知道……那麽，劇透警告！），但這不是完整的答案。事實上，4的平方根是2和-2，因為這兩個數與本身相乘都等於4。
這意味著-4的平方根不是-2，因為-2的平方不等於-4。那麽負數的平方根是什麽？似乎沒有任何數字與自身相乘可以得到負數。
為了解決這個悖論，亞曆山大港的希臘數學家希羅發明了一種新的數字，這種數字垂直於我們習慣使用的數字。這些數字被定義為負數的平方根，勒內·笛卡爾稱之為“虛數”，因為這些數字看起來不切實際。[5]
我們用字母i表示虛數，並把i定義為-1的平方根。-4的平方根是i2，-9的平方根是i3，-16的平方根是i4，以此類推。
虛數看起來像騙人，但話又說回來，數學家經常創造一些概念，在科學家為這些概念創造用途之前，它們看起來毫無意義。畢竟，有一段時間負數聽起來很蠢，你能拿出-5個物體嗎？
在這個意義上負數不是“真實的”，我們不能夠用手數出一個負數，但它們絕對是有用的。電子的電荷與質子的電荷相互抵消，所以正負數是個很好用的係統。
同樣，隻有方程中包含虛數時，電子波函數才能成立。如果薛定諤的方法有效（它確實有效），那麽電子不僅在三維空間裏繞原子核振動，還在一個虛構的維度裏繞原子核振動。大自然在搞什麽鬼？
生而自由
德國物理學家馬克斯·玻恩是第一個試圖理解電子波函數真正含義的人。玻恩被量子力學的隨機性迷住了，這是海森堡不確定性原理的直接結果。
我們測量一個粒子，最終能確定它的位置、動量等性質（在海森堡極限內），但真正奇怪的是，由於這些性質在測量之前有點模糊，重複測量幾次會得到不同的結果。
如果一遍又一遍重複某個經典的（普通的）實驗，你會得到相同的結果。讓小球滾下斜坡，你很容易就能預測它會到達哪裏。在牛頓這樣的人看來，世界上不存在真正的隨機或偶然，隻存在可預測的物理定律。
對經典物理學家而言，哪怕拋硬幣的結果也不是隨機的。拇指施加的衝量、硬幣在空中劃出弧線的角度，以及它與地麵的相互作用，都預示了硬幣最終會哪一麵著地。
如果有一台足夠強大的電腦，並將所有的數據輸入其中，你就可以準確地預測拋硬幣的結果。我們之所以把拋硬幣當成隨機的，唯一的原因是我們無法立刻完成這麽多計算。但量子力學不同，量子力學的結果似乎真的是隨機的。
你也許聽過這句格言：“瘋狂就是犯同樣的錯卻期待不同的結果。”這句話常常被誤認為是愛因斯坦說的（事實上它出自匿名戒毒會1981年印刷的小冊子）。[6]這是有道理的。如果你一遍又一遍重複同樣的事情，卻期待不同的結果，那你該有多瘋狂？就像量子物理學家那樣瘋狂。
以雙縫實驗為例。一開始，你向雙縫發射一束電子或質子或無論什麽粒子，結果探測屏上出現了斑馬條紋。但你不可能提前知道，當一個粒子落在屏幕上時，它會出現在哪條條紋上—你隻能基於概率來猜測。
粒子有40%的概率落在中央光帶，有20%的概率落在兩側相鄰的光帶，有10%的概率落在次相鄰的光帶，等等（暫且記下這些數字）。
實際上，當你沿著軌跡擲出電子，會發現它的終點都不同。海森堡不確定性原理迫使我們放棄預測未來的想法，讓我們接受這樣一個事實：事情的發生基於概率，優雅而瘋狂的量子女神一時興起的念頭決定了一切。在實際測量以前，粒子的位置是不精確的（粒子是不確定的），我們在測量時隻能預測可能的位置，而不是確切的位置。
所以，玻恩決定計算電子波通過雙縫時的薛定諤解，發現波的“振幅”（波有多高）對應著我們熟悉的數字。
探測器屏幕中心的峰值（波的振幅最大的地方）亮度為6.32，接下來兩邊的兩條光帶亮度為4.47，再接下來是3.16。這些數字似乎沒有規律，但其實有：它們是我們剛剛看到的百分數的平方根—40的平方根、20的平方根、10的平方根。
如果我們用薛定諤方程計算電子波，然後把結果與本身相乘（取平方），它們就會與實驗中粒子的可能位置相匹配。
似乎薛定諤的波函數是計算電子在某個位置出現的概率的平方根。所以，哇，感謝玻恩，這下就清楚了。我還有什麽不清楚的？
這究竟是什麽意思
玻恩對薛定諤方程的解釋，似乎暗示了概率是宇宙中粒子必須遵守的內在法則。而人類之所以發明概率，最初是為了預測哪匹馬可能贏得比賽。
粒子當然是粒子，但其位置是由概率波決定的，而且在不斷變化。根據量子論推測，我們不應該認為任何東西都有固定的位置，而要說位置是隨機確定的，取決於概率。
粒子較有可能落在薛定諤波到達峰值的地方，而不太可能落在薛定諤波到達穀值的地方(2)。電子、質子和光子本身並不是波，但它們的可能位置是波。
我們永遠無法準確地預測一個粒子在特定時間的位置，但通過薛定諤方程（以及假設粒子的位置在虛構和真實的維度上振動），我們可以計算出可能的結果。
因此，粒子可以反複通過相同的實驗儀器，但最終出現在不同的位置，因為它們的命運並不是一成不變的。每個原因都有許多潛在的影響，量子女神的選擇是完全隨機的。有時，在原子某一側的電子，當它的位置在空間中振動時，會發現自己處於原子的另一側。
如果這一切有些複雜、讓人困惑，那麽講一點有趣的冷知識來放鬆一下：歌手兼演員奧莉維亞·紐頓-約翰是馬克斯·玻恩的外孫女，曾在1978年的電影《油脂》（Grease）中與約翰·特拉沃爾塔演對手戲。
遺憾的是，《油脂》並沒有提及量子力學，除非我們認為“寒栗”是“波函數”的隱喻。當寒栗倍增時，這意味著波函數與自身相乘（取平方）以求得電子的最終靜止位置的概率。
如果是這樣的話，我們可以準確地說，一旦我們解開了薛定諤方程，麵對的將是一場哲學危機，我們將不得不接受完全隨機的實驗結果，因此我們正在“失控”。
通向勝利的隧道
雖然玻恩對波函數的解釋非常大膽，但有一種方法可以檢驗。我們可以把一個粒子扔向牆壁，看它是否能被粘住。
想象一個經典的（普通的）物體，比如網球，把它猛地擲向障礙物，接下來發生的事情是毫無疑問的—它會撞上障礙物，黏滯片刻，然後反彈回來。
玻恩對量子粒子的解釋卻截然相反。粒子的位置可以描述成不斷振動的概率波。
如果把電子擲向牆壁，我們必須把它當成波。波的每一個峰值意味著“粒子很可能在這裏”，每一個穀值意味著“粒子不太可能在這裏”。所以如果波接近牆壁，其中的一些峰值會出現在牆壁的另一側，就像這樣：
如上圖所示，當粒子到達牆壁時，其可能位置大部分在同一側（波的峰值大多數在左側），但每隔一段時間就會有一小部分出現在另一側。這種情況並不常見，因為波函數的值在另一側很低（隻是一個小的隆起），但電子偶爾會出現在牆的另一側。
這種現象被稱為“量子隧穿”，與玻恩的預測完全一致，人們已經多次觀察和記錄到。電子學中甚至有一種叫“約瑟夫森結”的設備，由夾著絕緣體的兩塊導電材料構成。通常來說電子會被這樣的勢壘阻擋，但由於量子隧穿效應，電子可以穿過勢壘。我們可以通過改變勢壘的厚度來控製電流的流動。
量子隧穿發生的時間是一千億分之一秒[7]，在本質上類似於雙縫實驗。粒子可以選擇從牆上彈回來，也可以選擇通過隧道，就像粒子可以選擇通過哪一條狹縫那樣。唯一不同的是，在雙縫實驗中，粒子通過每條狹縫的概率是50%，但在上述的量子隧穿中，粒子穿過勢壘的概率很低，所以這種情況很罕見。
量子隧穿也解釋了放射性的來源。原子核有時會隨機噴出幾個質子和中子（“α輻射”）。這在經典物理中是不可能的，因為質子和中子被原子核中的其他質子和中子包圍，不可能穿過。
但現在我們可以用波函數來描述所有粒子的位置，其中，一小部分粒子可以懸在原子之外。每隔一段時間，原子內部的粒子就會隨機地通過隧穿到達原子的邊緣，然後神奇地出現在原子外麵。這正是我們在放射性輻射中觀察到的。
選擇用詞
在1926年之前，量子論之間有一些鬆散的聯係，是薛定諤把它們編織在一起的。他指出，波粒二象性與電子殼層的能量層級有關……這解釋了原子軌道的形狀和所有的化學理論……讓我們可以通過概率來預測粒子。
在某些圈子裏，人們大致認為早期的量子物理學家研究的是“量子論”，比如普朗克、愛因斯坦、德布羅意和玻爾，而薛定諤、玻恩和海森堡研究的是更複雜的“量子力學”。
大多數人並不糾結於這種區別，通常用“量子力學”指代1926年以前和1926年以後的物理學。但對於純粹主義者而言，量子論始於普朗克，而量子力學始於薛定諤。
(1) spdf是原子軌道的名稱，s形軌道呈球形，有1個軌道，可容納2個電子；p形軌道呈啞鈴形，有3個軌道，可容納6個電子；d形軌道呈花瓣形，有5個軌道，可容納10個電子；f形軌道呈三角雙錐形，有7個軌道，可容納14個電子。—譯注
(2) 原文不準確。粒子出現的概率對應的是波函數振幅的平方，因此實際上，粒子較有可能落在波峰或波穀（振幅最大），而不太可能落在波節（振幅為0）。—譯注