纯数学科学在它近代发展的过程中，可以说是人类精神最富原创性的产物，此外可以与之一争席位的就是音乐。我们暂时抛开席位之争不谈，来考察一下数学应该占有这个地位的原因何在。数学的原创性，在于其中所展现的事物之间的关系不经过人类理性的作用，便不容易看出来。因此，除了被先前数学知识所激发和引导的知觉之外，当代数学家心中的观念与那些可以直接得自感官知觉的观念相去甚远。这个论题我将继续加以说明。
不妨我们运用想象，回溯到数千年之前，努力去领悟早期社会中的人，甚至是最伟大贤哲的心智是多么简单。对我们而言显而易见的抽象观念，但在他们却只能做大致的理解。以数字为例，我们认为数字5可以运用到任何合适的一群实有上去——5条鱼，5个小孩，5个苹果，5天。因此，在考虑数字5和数字3的关系时，我们想到的便是两群东西，一群有5个，另一群有3个。但是我们完全不去考虑组成两群的任何个别实有，甚至是某种特殊类别的实有。我们只考虑两个群体之间的关系，而这完全和两群中任何个体的本质无关。这就是抽象作用中令人印象深刻的功效。人类一定花了很多年才走到这一步。在漫长的岁月中，一群群的鱼将会被互相比出数目多少，一段段日子也会比出时间长短。但是第一个注意到七条鱼和七天之间可以类比的人，使得思想史往前迈进了一大步。他是第一个持有纯数学观念的人。当时，他一定还不可能预知那些有待发现的抽象数学观念的复杂和微妙，也一定猜不到这些观念将在往后世世代代中产生广泛的魅力。学术界有一个错误的传统，认为对数学的喜爱是一种偏执，这种偏执每一代人中只有少数怪人才会有。情况尽管可能如此，但因为在当时的社会里，抽象思维找不到对应物，所以从数学中得到的乐趣也是难以估计的。数学知识对于人类生活、日常爱好、传统思想和社会组织将会发生巨大影响，这一点完全超出了早期思想家的意料之外。即使到现在，人们对于思想史中数学要素真正地位的把握也是摇摆不定的。我不愿说，构建一部思想史而不深入研究每一个时代的数学观念，就像将哈姆雷特（Hamlet）从戏剧《哈姆雷特》中去掉了一般。也许这样说言过其实，但是这样做肯定类似于将奥菲利亚（Ophelia）这个角色删除了，这个比喻是非常恰当的。因为奥菲利亚对于整部戏剧来说是非常重要的，她很迷人，也有一点疯狂。我们不妨认为，对数学的追求是人类精神的神圣疯狂，是对或有事件的刺激紧迫感的一种逃避。
一想到数学，我们心里就浮现出一门专门探索数、量、几何的科学。在现代社会，这门科学还包括了更为抽象的次数概念和纯逻辑关系的类似形式。数学的关键在于，在其中我们摆脱了特殊事例，甚至是任何一类特殊的实有。所以，没有数学真理是仅仅运用于鱼、石头和颜色的。只要你处理的是纯数学，你便处于完全和绝对的抽象领域之中。所有所说的不外乎是，理性坚信，任何实有具有满足某纯抽象条件的关系，就必然具有满足另外纯抽象条件的关系。
数学被认为在完全抽象领域活动，超越了任何其所研究的特殊事例。迄今为止数学的视角还不明显，我们可以相信，这一视角还不为普通人所理解。比如说，习惯上认为，数学的确定性就是我们关于物理宇宙空间的几何知识的确定性之原因。这种错觉过去已经误导了很多哲学思想，现如今仍在误导一些哲学思想。几何问题是相当重要的检验案例。对于未指明的实有，有多套纯抽象条件可以成为它们之间的联系，我将这些条件称为“几何条件”（geometrical conditions）。我之所以给它们这个称呼，是因为它们大体上与那些条件类似。那些条件我们确信能够掌握，是关于事物之间的特殊几何关系的，而这些特殊几何关系通过我们对自然界的直接感知可以观察到。就我们的观察而言，我们还不能精准地知道，控制我们在自然界中遇到事物的条件究竟是什么。但是把假设稍作延伸，我们就能使这些被观察到的条件符合某一套纯粹抽象几何条件。如此一来，我们就对未确定事实做出某种特殊的限定，这些未确定实有是抽象科学中的关系体（relata）。在探讨几何关系的纯数学中，如果任何一组实有在本群各单位之间所具有的任何关系，能够满足“这一套”抽象几何条件，则某附加抽象条件也一定能符合这种关系。但当我们探讨物理空间时，某一群明确被观察到的物理实有在本群各个实有之间具有某些明确被观察到的关系，这些关系满足上述那套抽象几何条件。因此，我们得出结论说附加关系被认为符合任何这种实例，也一定符合这个特殊实例。
数学的确定性依赖于它完全抽象的普遍性。我们相信在实际宇宙中被观察到的实有能形成我们普遍推理过程中的一个特例，但是我们没有先天的确定性认为我们是对的。再举一个算术的例子，纯数学中一个普遍的抽象真理是，任何包含40个实有的一组可以被划分为包含20个实有的两组。我们因此有根据断定，一堆包含40个个体的苹果，可以被分成两堆都包含20个个体的苹果。然而，我们将40个苹果数错可能是常有的事，所以在实际分苹果的时候，也许就会发现其中一堆多一个而另一堆少一个的情形。
因此，当我们批评一个其基础是数学应用于特殊事例上的主张时，我们必须清楚地记得三个过程。首先，我们必须首先仔细检查纯数学的推理以确保没有漏洞，没有因疏忽而产生偶然的不合逻辑之处。任何的数学家都曾从惨痛的经历中得知，在开始详细进行一系列推理过程时，非常容易犯下一些小失误，导致结果完全不同。但是当一种数学已经经过修正，并且由专家们考验了一段时间，那么它发生偶然错误的可能性就可忽略不计了。其次，第二段过程是确保预先假定的所有抽象条件都成立，这就是将数学推理开始的抽象前提确认一下，这是一个有着相当大难度的事件。过去曾经发生过很明显的疏忽，而且已经被历代最伟大的数学家所接受了。这其中最主要的危险是疏忽，即不知不觉中引入一些对我们而言非常自然的预先假定的条件，而事实上这些条件不一定总成立。另外在这个联系中也有一种与之相对的疏忽，这个疏忽倒不会导致错误，但是其弊端在于缺乏简化。就是必要的假设条件很容易被估计得超出实际需求。换而言之，我们可能认为一些抽象假设是必需的，然而事实上，这些假设能够从其他我们已经掌握的假设中得到证明。过多假设的唯一效果就是减少了在数学推理过程中的审美乐趣，并且将会给第三个评论过程带来麻烦。
最后，第三个评论过程是验证我们的抽象假设在当前的特殊个案中是否可以成立。所有的麻烦都产生在对特殊个案进行验证的过程之中。在诸如数40个苹果这样简单的例子中，只要稍加留意，我们就可以达到实际的确定性。但是一般来说，对于更为复杂的例子，完全的确定性是不可能达到的。对这个问题进行讨论的文献早已汗牛充栋了，它也是对立的哲学家思想交锋的战场。其中涉及两个不同的问题。其一为我们观察到一些特殊明确的事物，而我们必须确保这些事物之间的关系确实遵从特定精确的抽象条件。这里面犯错的空间就很大。科学精确的观察方法都是为了减少关于直接事实问题的错误结论。但是现在另一个问题就出现了，直接被观察到的事物几乎都是例子。我们想要得出的结论是：在例子中能成立的抽象条件，同样在一切由于某种理由而被视为一类的其他实有中也能成立。这种由例子推至全体的推导过程就是归纳法。归纳法的理论是哲学所不能处理的，然而我们所有的活动又建立在它之上。总之，评论一个特殊事实问题的数学结论时，真正的困难在于找出其中涉及的抽象假设，并对它们适用于手头特殊个案的证据进行评价。
因此，经常可以看到，在评论一部应用数学方面的学术书或者一篇研究报告时，所有的问题都出现在第一章，甚至在第一页，因为就是在这最一开始的地方，作者的假设可能产生了失误。并且，问题不是出在作者说了什么，而在于他没说什么；不在于他明确了的假设，而在于他不知不觉中所做的假设。我们不怀疑作者的诚信，我们评论的是他自作聪明之处。每一代人都批评父辈不知不觉中所做的假设，并且也许会同意这些假设，但是却会将它们从不知不觉中揭示出来。
语言学发展的历史正好说明了这一点。这是一段观念分析不断进展的历史。拉丁文和希腊文都是词尾有变化的语言，这就意味着表达一个未加分析的复杂理念时，它们可以仅仅只变换下单词。然而，以英语为例，我们就须使用介词和助动词去揭示所涉理念全部的意思。尽管不是全部，但是对于特定形式的文学艺术而言，辅助理念被密集吸收进主要的词句中可能是一种优势。不过在表述明确方面，英文取得了压倒性的成果。表述明确性的增强，就是将各种语句含义中的复杂理念所涉及的各种抽象概念更完整地表达出来。
与语言做比较，我们就能看出通过纯数学表现出来的思想功能是什么。这是在进行完全分析的道路上的一次坚决尝试，目的是将事实要素和它们所体现出的纯抽象条件区分开来。
如此分析的习惯激发了人类心智功能的每一个行为。首先，它（孤立地来看）强调了以审美的方式直接体察经验内容。这种直接体察意味着对经验究竟是什么的理解，这里经验是就其自身独有的本质而言的，包括直接的实在价值。这是直接经验的问题，依赖于精妙的感觉。其次，是关于特殊实有抽象化的问题，也就是将这些实有与它们被认知时所处的特殊经验事态区别开来，以便理解他们自身。最后，还要进一步理解这些绝对的普遍条件，这些条件被经验中的实有间特殊关系所满足。这些条件之所以具有普遍性，是因为他们单靠本身就能表达出来，而不必涉及发生在特殊经验事态中的特殊关系或者特殊关系体。这些条件在其他不确定的多种事态下也成立，包括其他实有和其他相互关系。因此，这些条件完全是一般化的，因为它们不涉及任何特殊事态，不涉及不同事态下的任何特殊实有（比如绿、蓝、树），也不涉及这些实有之间的关系。
然而，数学的普遍性也有限度。这是一个对所有一般性论述都能平等适用的资格限制。任何疏远事态若与直接事态没有关系，因而不能形成直接事态本质的组成要素，那么我们对这种事态只能提出一种论述。关于“直接事态”我指的是把个人判断活动当成一个构成成分的事态。唯一提出的论述是，如果任何事都在关系之外，则人们会对它完全一无所知。这里的“一无所知”，我指的是不知情，因此无论是在“实践”中或其他情形下，关于如何看待它或者如何对待他的难题我都无法给出意见。或者我们通过其本身就是直接事态构成成分的认知，来知晓疏远事态的一些事情，或者我们便一无所知。因此，在各种经验显示下的全部宇宙，其中的每一个细节都与直接事态存在一定的合适的关系。数学的普遍性是最为完整的普遍性，它与组成我们形而上学情形的事态极度相符合。
值得进一步注意的是，为了进入任何事态，特殊实有需具有这些普遍条件。然而，相同的普遍条件可能被许多类型的特殊实有所需求。普遍条件超越了任何一组特殊实有这样一个事实，使“变量”这个概念进入到数学，进入到数学逻辑的根据。由于引入了“变量”这个概念，考察普遍条件时可以不需要任何特殊实有。特殊实有间的不相关性仍然没有被一般人所理解，比如，实际经验中的圆形、球形、菱形等形态的性质并未进入几何推理。
逻辑推理的运用往往和绝对普遍条件相关。在最广泛的意义上，数学的发现就是发现了这些普遍抽象条件的全部情况。这些普遍抽象条件可同时运用于任何具体事态中实有间的关系，而且以一定模式相互联系，其中还有一个开启全局的关键。通过普遍必然性，即每一个事物都正好是其自身，并且其自身独特的方式不同于其他事物，普遍抽象条件之间的关系模式以相同的方式影响着外界现实，影响着我们对外界现实的抽象表述。这就是抽象逻辑的必然性。也就是每一个经验的直接事态所显示的相关关联存在之前提。
开启模式的关键是指这一事实：一套被选定的普遍条件，展示在任何一个或者相同的事态后，一种包含了无限变化的其他相同条件想要展现在同一事态下，则能够以纯运用抽象逻辑来推演。任何被选定的一套条件就被称为一套假设或者一套前提，推理从它们开始。推理就是普遍条件的全部模式的展示，而这些模式从选定假设中推演出来。
那预见了包含在假设中的完整模式之逻辑推理的和谐，是最普遍的美学性质，这种性质源自在一个事态统一体中包含了协同存在这一事实。哪里有事态统一体，哪里就会在事态的普遍条件之间建立美学关系。美学关系是在理性的运用中被发现的。无论什么属于这一关系范围之内都将在该事态中体现出来；无论什么不属于这一关系范围之内都不会在该事态中体现出来。因此，像这样体现出来的普遍条件的完整模式，是被任何一套选出来的条件所决定的。这种关键性的各套假设就是各套相等的假设。“存有”的理性和谐，是复杂事态的统一体所需要的，它和包含在逻辑和谐中的所有完整体现（在那种事态下），是形而上学学说的主要论题。这意味着事物联合起来是有理性的联合起来。也就是说，思想能深入于事实的每个事态，因此，通过理解关键性条件，条件模式的全部复杂情况就被开启了。总之，假如我们了解任一事态中要素的某些完全普遍的性质，就将了解同一事态下必然出现的无数其他同样普遍的概念。一个事态统一体中的逻辑和谐既是排斥的又是包容的，事态必须排斥一些不和谐的东西，而将和谐之物包囊旗下。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是掌握了普遍原则之全部意义的第一人。他生活在公元前6世纪。我们对他的认识是碎片化的。但是我们了解一些奠定了他在思想史中伟大地位的观点。他坚持推理中终极普遍性的重要性，他发现了数字在帮助任何陈述自然秩序中的条件时的重要意义。我们也知道他研究几何学，并给出了直角三角形中一个著名定理[1]的普遍证明。毕达哥拉斯兄弟会的建立，与其仪式和影响力有关的许多神秘的传说，都提供了一些证据，说明毕达哥拉斯发现了数学在科学形成中可能具有的重要意义，尽管对此他还十分模糊。在这些方面他开创了一种研讨，直到现在，这种研讨一直使得思想家们很激动。他问道：“数学中的实有，比如数字，究竟在事物领域占有什么地位？”例如“2”这个数字，在某种意义上就是处于时间之河流与空间之必然位置之外的，然而，它又在现实世界之中。同样的理由也适用于圆形之类的几何概念。据说毕达哥拉斯曾经教导，数学实有，比如数和形状，是终极元素，我们知觉经验中的真正实有都是由这些元素所构成的。坦率地说，这种观点看起来十分粗糙，也不怎么高明。但毋庸讳言的是，他发现了一个相当重要的哲学概念，这个概念具有悠久的历史，曾经感动过人们的心灵，甚至深入到基督教神学体系中去。《亚他那修信经》（Athanasian Creed）[2]和毕达哥拉斯相距约一千年之久，毕达哥拉斯和黑格尔（Hegel）相距约两千四百年之久。无论时间相隔多久，确定数字在神圣本性构成中的重要作用，以及现实世界的概念是观念发展的体现的说法，都可以回溯到毕达哥拉斯所提出的系列思想中去。
独立思想家的地位有时靠机遇，因为这取决于他的观念在后继者心中的命运如何。在这个方面，毕达哥拉斯是幸运的。他的哲学思想通过柏拉图的智慧传递给我们。柏拉图的理想世界就是毕达哥拉斯学说的精炼和修正。这一学说认为现实世界的基础是数。由于希腊时期是用点的形式来表示数字，所以数字和几何图形的观念没有如我们现在这样区分得这么开。毫无疑问，毕达哥拉斯学说也将形态的性质包括了进去，这样它就是一个不纯的数学实有。因而如今，当爱因斯坦和他的追随者们宣告诸如重力等物理事实都可以被解释为时空性质的局部特性的时候，他们是在追随纯毕达哥拉斯传统。从某种意义上说，柏拉图和毕达哥拉斯比亚里士多德更为靠近现代物理科学。前两位都是数学家，而亚里士多德是医生的儿子，当然他并没有因此而忽视数学。来自毕达哥拉斯的实际忠告是，首先度量，然后用数字决定量的方式来表达质。但是直到现代，生物科学仍主要是属于分类的科学。因此，亚里士多德的“逻辑学”中就强调了分类。在整个中世纪，亚里士多德逻辑学的流行阻碍了物理科学的进展。如果经院学者采用度量而不是分类，那么他们将学习到多少东西啊！
分类是直接具体的独有之物和完整抽象的数学观念之间的中途站。种类考虑种的特性，属注意的是属的特性。但是在关联数学观念和自然现实的过程中，通过计数、测量、几何关联和秩序形态，理性的思维就离开了包含在明确的种和属之中的不完全抽象，而进入到了完全的抽象层次。分类是必需的，但是除非你能从分类推进到数学，否则你的推理便不能带你走很远。
从毕达哥拉斯到柏拉图那段时期，距离属于近代世界的17世纪，有将近两千年的时间。在这段漫长的间歇中，数学取得了巨大的跨越。几何学在圆锥形截面和三角法的研究中取得了成功。穷举法也几乎预见到了积分学的研究。最重要的是，亚洲思想家提出了阿拉伯数字和代数学。然而，这些进展都是在技术层面。数学，作为哲学发展中的构成要素，在这段漫长的时间里，从来没有从亚里士多德的手中解脱出来。一些从毕达哥拉斯和柏拉图时期传下来的旧观念一直在数学身旁徘徊，这些观念从柏拉图学说对基督教神学初期演进的影响中也能看出来。但是哲学并没有从不断稳步前进的数学科学中收获新的灵感。17世纪，亚里士多德的影响力降到谷底，数学也恢复了往日的重要地位。那是一个伟大的物理学家与伟大的哲学家并存的年代，他们几乎同样也是数学家。只有约翰·洛克（John Locke）是特例，尽管他受到英国皇家学会中牛顿这一学派的极大影响。在伽利略、笛卡尔、斯宾诺莎（Spinoza）、牛顿和莱布尼茨（Leibniz）的时代里，数学在哲学观念的形成中产生了极为重要的影响。但是，如今脱颖而出的数学却与之早期大为不同。它在普遍性上收获了成功，而且开启了几乎令人难以置信的现代事业，将一套套精妙的普及理论建立在另外一套套精妙普及的理论之上。并且，每增加一份复杂性，就越能找到一些新的途径应用于物理科学或者哲学思维。阿拉伯数字符号在处理数字方面为科学提供了近乎完美的技术效能。这从算术细节中挣脱出来（比如，公元前1600年埃及的算术所表现的），使得希腊晚期数学微弱预见的前途得到了发展的空间。代数学现在登上了历史舞台，代数是算术的一般化。正如数字观念超越了任何一套特殊的实有一样，代数也超越了任何特殊数字的观念。正如数字“5”无差别地表示任何5个实有的群，代数中的字母也用于无差别地表示任何数字，只需有条件规定，在上下文相同的同一用法中，每一个字母表示同一个数字。
这种用法首先使用在方程式中，方程式是提出复杂算术问题的方法。在这种关系中，代表数字的字母被称为“未知数”。但是方程随机提出了一个新的想法，即一个或者多个普通符号的函数，这些符号就是字母，代表着任何数字。在这种用法中，代数字母称为函数的“自变量”，有时也被称为“变量”。举例来说，如果以某种给定单位测量一个角，并将所得数值以一个代数字母代表，那么三角就被涵盖到这种新的代数中去了。因此，代数发展成普遍的分析科学，在这门科学里，我们考虑不定自变量的各种函数的性质。最后，一些特殊的函数，比如三角函数、对数函数和代数函数都整合为“任何函数”的观念。太广泛的综合将不会带来任何结果。只有用一种恰如其分的特质来限制广泛的综合，才能使得它成为有效概念。例如任何连续函数的观念，都必须引入连续性的极限，才是完满的观念，这种观念已经导致了很多重要的应用。代数分析的兴起正好与笛卡尔发现分析几何，以及牛顿和莱布尼茨发现微积分同时。的确，如果毕达哥拉斯能够预见到他所创制的系列思想的后果，将会觉得他的兄弟会以及里面令人兴奋的神秘仪式是完全有道理的。
我想说明的一个观点是：在数学的抽象领域占据优势地位的函数观念，反映在自然秩序中便是以数学表达出来的自然规律。要是没有数学这种进步，17世纪科学的发展将不可能。数学给科学家观察自然提供了想象思维的背景。伽利略、笛卡尔、惠更斯（Huygens）、牛顿等人都创造了很多的公式。
假如要找一个有关数学的抽象发展对当时科学的影响的特例，可以考虑下周期性这个概念。在我们日常的经验中，事物普遍都有明显的重复现象。日复一日、月圆月缺、四季轮回、周而复始、心跳和呼吸循环往复；在每个方面，我们都能碰到重复现象。假如没有重复，知识也不可能产生，因为在这种情况下就没有任何事物能和我们过去的经验发生联系。同时，没有规律性的重复现象，度量也变得不可能。根据我们的经验，当我们获得精确的观念时，重复是其基础。
在十六七世纪，周期性理论在科学中处于基础地位。开普勒发现了一条法则，这条法则将行星轨道的长轴与各行星沿着自身轨道运行的周期联系起来；伽利略观察了钟摆的振动周期；牛顿解释了作为“存有”的声音是由疏密相间的周期性波动穿过空气时发生的扰动所形成的；惠更斯认为光是精细的以太的横的振动波形成的；梅赛纳（Mersenne）则将小提琴弦的振动周期与它的密度、张力和长度联系起来。现代物理学的诞生有赖于周期性抽象观念在许多具体事例上的应用，但是除非数学家已经将围绕在周期性概念周围的抽象观念推演出来，否则这是不可能的。三角学兴起于研究直角三角形中两锐角比率间关系。随后，在新发现的数学科学中的函数分析的影响下，扩大为对体现这种比率的纯粹抽象的周期函数的研究。因此，三角学完全成为抽象的了，正因为它变得抽象了，它也变得有用处了。它阐明了完全不同的物理现象中所潜在的类似之处。同时，它还提供了武器，使得任何一套物理现象都能对其自身的各种特性加以分析，然后相互联系起来。[3]
没有什么比这样一个事实更加让人印象深刻了：当数学朝向更为极端的抽象思维的高端领域上升，它回到现实的时候对具体事实的分析就相应更为重要。17世纪的历史读起来犹如柏拉图和毕达哥拉斯生动的梦，从这个特征来看，17世纪仅仅是后继者们的先驱而已。
最高的抽象是控制我们思考具体事实的真正武器。这一矛盾的观点现如今已完全确立起来了。17世纪数学家盛极一时的后果是，18世纪是数学思维的世纪，在法国影响力占据优势的地区尤其如此，英国洛克所倡导的经验主义算是一个例外。在法国之外的地区，牛顿对于哲学的直接影响最佳的见证者就是康德（Kant），而不是休谟。
在19世纪，数学的普遍影响逐渐式微。文学上的浪漫主义和哲学上的理想主义都不是数学思维的产物。同时，甚至在科学领域中，地质学、动物学和生物科学的发展一般来说也与数学完全无关。这个世纪最为令人兴奋的科学事件就是达尔文的进化论。因此，就这个时代一般的思想而言，数学退居到幕后了。但是这并不意味着数学被忽视了，甚至也不能说它毫无影响力了。19世纪纯数学取得的进步几乎相当于毕达哥拉斯以来所有成绩的总和。当然进步是容易的，因为技术已经日臻完善。然而即便如此，1800年至1900年这段时间里数学的变法仍然是相当显著的。如果我们再往前推100年，将当今之前的200年都算上，我们就会忍不住认为数学奠定基础的时间是在17世纪的最后25年。发现数学要素的时间段从毕达哥拉斯时期到延伸到笛卡尔、牛顿和莱布尼茨时代，发展成熟的科学则是最近250年左右出现的。这并不意味着是要夸耀近代世界中的超级天才，因为发现要素比发展科学要困难得多。
整个19世纪，数学的影响力作用于动力学和物理学，然后推及至工程学和化学。通过将这些科学作为媒介，数学间接影响了人类生活，而这是难以估量的。但是数学并没有对当时的一般思想产生直接的影响。
通过简要回顾数学在欧洲历史上的影响，我们发现数学曾有两个伟大时段对一般思想产生了直接影响，每个时段都各自持续了大概两百年。第一阶段是从毕达哥拉斯到柏拉图，当时创立数学的可能性和数学的一般特性首次出现在希腊思想家心中。第二阶段包括了现代时期的17世纪和18世纪。这两个时段具有一些共同的特点：在第一、二阶段中，在与人类利益攸关的许多领域，普遍思想范畴处于瓦解状态。在毕达哥拉斯时期，让人觉察不到的异教信仰凭借它漂亮的仪式和魔术的法式的传统外衣，在两方面的影响下进入到一个新的阶段。一方面，宗教热情的浪潮，寻求对于神秘深处事物的直接启示；另一方面，在相反的另一极，已经觉醒的批判分析思想，以冷静客观的态度探究事物的终极意义。虽然这两种影响的结果迥异，但却都具备一个共同要素：一股被唤醒的好奇心和一场旨在重建传统方式的运动。这种异教徒的神秘效果堪比清教徒和天主教徒的反对作用。批判的科学价值在两个时代都是相似的，尽管在实际重要性方面略有区别。
每一个时段在早期都是充满欣欣的繁荣和新的机遇的。在这个方面，它们与二三世纪基督教征服罗马世界的衰落时代不同。只有在一个幸运的时代里面，一方面能从环境的直接压力中解脱出来，另一方面又具有强烈的好奇心，时代精神才能对那些最终抽象概念进行任意的直接修正。那些最终的抽象观念隐藏在更为具体的概念后面，我们时代的严肃思想都是从这些概念开始发展起来的。这件事只能在极少的时代里完成，从而使得数学与哲学发生了关联。因为数学是人类心智所能达到的最为完整的抽象概念。
这两个时段的相似之处不能被过分强调。近代世界要远比地中海沿岸的古代文明世界，甚至是遣送哥伦布和清教徒前辈移民度过大西洋时的欧洲更大更复杂。我们不能用一些盛行而又将会被束之高阁上千年的简单公式来解释我们这个时代。因此，从卢梭（Rousseau）以来，数学思维的短暂沉寂看上去已经走到尽头。我们正在进入一个宗教、科学和政治思想的重建时代。这样一个时代里，如果有意避免只是无知地在极端之间摇摆的话，一定得寻求终极最深的真理。但除非有一种哲学来充分说明那些终极抽象概念，且以数学来说明这些抽象概念之间的关系，否则这种深刻的真理是无法洞察的。
为了确切说明数学是如何在当前获得普遍重要性的，我们不妨从一个特殊的科学困惑出发，去看看在试图解决这些困难时，我们自然地被引导到哪种观念上去。当前，物理学正在为量子论而犯难。如果有人还不熟悉这个理论是什么，我在此暂不做过多解释。[4]我所要指出的是，这些解释中最有希望的一个是假设电子不是连续穿过其在空间中的路径；另一个观念认为，电子存在的方式是它出现在空间中一系列离散位置上。在这些位置上它占据一段连续的持续的时间。这就好像一部汽车，以平均每小时30里的速度沿着一条道路前行，但它并不是连续地通过这条道路，而是依次在一系列的里程碑那里出现，并在每座里程碑那里停留两分钟。
首先，我们需纯技术地运用数学，看看这个概念是否真正能解释量子论许多令人困惑的性质。如果这种观念经得起这场考验，毫无疑问物理学就会采用它。总而言之，这问题纯粹是要数学与物理学之间根据数学计算和物理学观察来解决的。
但是，目前一个问题摆在了哲学家面前。电子在空间中是一种不连续的存在，这和我们习惯地假定事物显然连续存在很不相同。电子似乎从西藏的圣人那里借了功力过来，电子加上与其相关的质子，就成为日常经验中物体的基本实有。因此，如果这个解释被接受了，我们必须修正所有关于物质存在的终极特性的观念。因为当我们深入到这些终极实有时，令人惊讶的空间存在的不连续性就显现出来了。
解释这个矛盾现象并不困难，只要我们同意将那些目前已被大家所接受的关于声和光的相同原则运用于表面稳定而无差别的事物的持续状态上就可以了。一个稳定持续的音符被解释为是空气振动的结果，一个稳定的颜色被解释为以太振动的结果。如果我们用相同的原则解释事物稳定而又持续的状态，我们就应该设想：每一个最初要素都是潜在能量或者潜在活动的振动起伏。假设我们坚持物理学上能量的观念，那么每一种最初要素都将会是一个有组织的振动的能量流系统，因此，每一个要素都将具有一个确切的周期，在这个周期内，这个能量流系统将会从一个静止的极点摆动到另一个静止的极点。以海洋潮汐为例，能量流系统将会从一个**时期摆动到另一个**时期，这个组成最初要素的系统，在某个瞬间看来是不存在的，它需要整个周期才能展现出来。同理，一个音符在瞬间也是不能成为音符的，而需要整个周期才能展现出来。
因此，如果问最初要素在哪里，我们就必须取它的平均位置，即每个周期的中间。如果我们将时间分割成更小的要素，作为电子实有的振动系统将不复存在。这样一个振动实有在空间中的轨迹——振动组成实有的地方——必须被描绘成空间中一系列离散位置，如同汽车出现在一系列里程碑那里，而不是出现在两个里程碑之间一样。
首先，我们必须要问的是，是否有任何证据表明量子论和振动说存在联系。这个问题可以立即得到肯定的回答：整个量子理论都是围绕着原子的辐射能来研究的，并且直接与辐射波系统的周期相联系。因此，看上去振动存在的假设是最可能解释轨道不连续这一困惑的了。
其次，一个新的问题摆在了哲学家和物理学家面前，如果我们采用了上述假设，认为事物的终极要素本质上存在于它们的振动性之中。也就是我所说的，除了周期性的系统之外，并没有所谓要素的存在。在这一假设之下我们必须得问，组成振动系统的成分是什么呢？我们已经抛弃了无差别的持续状态的物质。除了形而上的强制要求之外，我们并没有理由去提出另一种更为精微的物质去取代我们已经解释过了的这种物质。现在这个领域已经为引入一种新的机体论以取代唯物论打开了大门，17世纪以降，科学就将唯物论像装马鞍一样套在了哲学身上。值得铭记的是，物理学家所谓的“能量”显然只是一个抽象概念。具体的事实是，机体必然是真实显相特性的完整表达。将科学的唯物论替换下来，如果这曾经发生过，一定对思想的每个领域都产生了重要影响。
最后，我们最后的回应必然是，最终我们回到了老毕达哥拉斯的一个说法上来，数学和数学物理都是从他那里开始崛起的。他发现了研究抽样概念的重要性，尤其是引导人们注意到数字能刻画音符的周期性这一特质。因此，周期性这一抽象观念在数学和欧洲哲学发展的最早期就已经存在了。
17世纪时，近代科学的诞生要求一种新的数学，具备完备的手段去分析振动存在这一性质。在20世纪，我们发现物理学家大多从事于分析原子的周期性工作。诚然，毕达哥拉斯在建立欧洲哲学和欧洲数学时，就赋予了它们这一最为深刻的幸运推测——这或许是神性天才的闪光，洞察到最深的事物本质上去了。
[1] 即勾股定理。——译注
[2] 《亚他那修信经》与《使徒信经》、《尼西亚信经》、《迦克墩信经》并称为基督信仰四大信经，此信经是第一个阐述三位一体教义的信经。——译注
[3] 关于自然和纯数学函数的更详细的研究，请参看我的著作《数学导论》（An Introduction to Mathematics）。
[4] 参见本书第八章。