"各位老師，我們仔細分析了題目和黃國棟同學的解法，發現了一個關鍵的邏輯漏洞。黃國棟同學在證明過程中假設z= x+ iy，其中x和y都是實數。但是，題目中並沒有明確說明z必須是直角坐標形式。
事實上，如果我們考慮z的極坐標形式z= re^(iθ)，其中0≤ r≤ 1，0≤θ 2π，我們可以得到一個更精確的結果。
e^z+ e^(-z)= e^(re^(iθ))+ e^(-re^(iθ))
利用泰勒級數展開，我們可以得到：
e^z+ e^(-z)= 2+ r^2cos(2θ)+ O(r^4)
這個結果表明，當|z|很小時，|e^z+ e^(-z)|≈ 2，而不是像黃國棟同學證明的那樣接近2cosh(|z|)。
更進一步，我們可以利用Joukowsky變換和最大模原理來嚴格證明，對於|z|≤ 1，有：
|e^z+ e^(-z)|≤ 2
這個上界比2cosh(|z|)更緊，因為對於所有|z|≤ 1，都有2≤ 2cosh(|z|)。
因此，我們認為原題的結論雖然正確，但不是最優的。最優的不等式應該是|e^z+ e^(-z)|≤ 2。"
“所以，答案，其實是存在一定問題的。”
“如果非要說的話，結論不準確，甚至是無解的。”
周群的解釋讓在場的所有人都陷入了沉思。
他不僅指出了黃國棟解法的局限性，還提供了一個更深入、更精確的分析。
黃國棟聽完，臉色鐵青。
他沒想到周群不僅指出了他們解法的不足，還提出了一個更強的結論。
清華大學的秦教授突然開口了："周群同學，你們的分析非常深刻。能否再詳細解釋一下，你是如何想到要用極坐標和Joukowsky變換的？"
周群正準備回答，黃國棟卻像是被踩到了尾巴一樣跳了起來。"等等！"他大聲喊道，"我不同意！我明明證明出來了。你說的無解是偽命題。"
“這違背了競賽的初衷。”
所有人的目光都集中在了黃國棟身上。